Finalmente definirò l’exergia utile ai nostri fini (cioè capire come si può utilizzare per una scelta performante) e il bilancio exergetico. Nello scorso articolo ho introdotto i concetti di bilancio entalpico ed entropico per i nostri fini. Ora definiamo finalmente l’exergia.
Per farlo ci ripippiamo il sistemone dove accadeva di tutto dello scorso articolo:
il sistema generico di riferimento
Che fa parecchio schifo ma l’ho fatta in Paint, mica in Inventor o simili.
Tornando a noi: la domanda che ci si era posti era riuscire a ciucciare la maggior potenza meccanica possibile da questo sistema correlato all’ambiente da noi definito.
Per far ciò conosciamo:
- condizioni di temperatura e pressione ambientali pa e Ta
- le potenze termiche Qj scambiate con tutti i ST
- la potenza Qa scambiata con l’ambiente
- gli stati termodinamici di tutti i fluidi che passano per questo volume di controllo, oltre che le loro portate
- l’evoluzione del sistema di controllo
E riprendendo due bilanci energetici ed entropici dello scorso articolo, sostituendo il calore ambiente Qa dal bilancio entropico a quello energetico otteniamo:
[latex] W’= -(\dfrac{dU}{dt}+p_a*\dfrac{dV}{dt}-T_a*\dfrac{dS}{dt}+\sum_{j}[m’_i*(h_i-T_a*s_i)_j]-\sum_{j}[m’_u*(h_u-T_a*s_u)_j]+\sum_{j}[Q’_j*(1-\dfrac{T_a}{T_j}]-T_a*S’_{gen} [/latex]
In cui la generazione entropica Sgen è sempre positiva o, al più, nulla in caso di processo reversibile.
Il prossimo step è quello di raggruppare i termini appena scritti e dargli un nome:
- $latex U-T_a*S+Pa*V=U^{ce} $ energia convertibile effettiva
- $latex h-T_a*s=h^c $ energia convertibile specifica
- $latex1-\dfrac{T_a}{T_j}=\theta_j$ fattore di Carnot ( relativo al ciclo di Carnot)
e riscrivere l’equazione:
$latex W’= -(\dfrac{dU^{ce}}{dt})+\sum_{j}[m’_i*h^c_i]_j-\sum_{j}[m’_u*h^c_u]_j+\sum_{j}[Q’_j*\theta_j]-T_a*S’_{gen}$
e , in base alla definizione di processo reversibile,
$latex W’_{rev}= -(\dfrac{dU^{ce}}{dt})+\sum_{j}[m’_i*h^c_i]_j-\sum_{j}[m’_u*h^c_u]_j+\sum_{j}[Q’_j*\theta_j]$
dalle ultime due ricaviamo che :
$latex W’= W’_{rev}-T_a*S’_{gen}$
Popolo, Habemus Papam!
Possiamo cicciare/cacciare (se siam davvero bravi) tutto il lavoro reversibile diminuito del termine entropico generato moltiplicato per la temperatura ambiente.
Per capire meglio il significato dei termini vi propongo questo punto di vista: se il lavoro W’ è positivo, il lavoro sarà estratto e sarà minore di quello reversibile; se il lavoro W’ è negativo significa che il lavoro sta venendo fornito al sistema, ovvero sarà maggiore di quello reversibilmente fornibile per aumentare l’energia del sistema.
Signoribbelli e signorinebbelle: adesso abbiam in mano tutte le carte per definire i termini exergetici e a cosa si riferiscono in pratica.
- $latex Ex_{dis}= T_a*S_{gen} $ exergia distrutta, siempre >=0
- $latex Ex^u=U^{ce}-U^{ce}_a$ exergia interna, assimilabile ad una funzione di stato
$latex EX^u=\int_{x}^{a} [(P-P_a)dV+(T_a-T)dS]$ - $latex ex=h^c-h^c_a $ exergia , già specifica alla massa, assimilabile anch’essa ad una funzione di stato
$latex ex=\int_{x}^{a} [-vdP+(T-T_a)ds]=\int_{x}^{a} [dw_{diretto,reversibile} + dw_{ausiliario,reversibile}]$ - $latex Ex^W=-W$ exergia da lavoro, non associabile a nessuna funzione di stato
- $latex Ex^Q=Q’*\theta $ exergia da calore che no, non è assimilabile ad una funzione di stato, ma a mio avviso è immagine chiara della logica con la quale è stata inventata l’exergia assieme alla definizione precedente( fun fact: fu inventata per sapere quanto far pagare l’energia termica di scarto di un ciclo Hirn) : l’exergia da calore ha lo stesso segno del flusso termico solo se Tj>Ta. Paura eh?
A questo punto possiamo finalmente scrivere il bilancio exergetico, riprendendo le definizioni e l’equazione di W’:
$latex W’= -(\dfrac{dU^{ce}}{dt})+\sum_{j}[m’_i*h^c_i]_j-\sum_{j}[m’_u*h^c_u]_j+\sum_{j}[Q’_j*\theta_j]-T_a*S’_{gen}$
che diventa
$latex W’=-Ex’^W= -(\dfrac{dEx^{u}}{dt})+\sum_{j}[m’_i*ex_i]_j-\sum_{j}[m’_u*ex_u]_j+\sum_{j}[Ex’^Q_j]-Ex’_{dis}= -Ex’^u+\sum_{j}[m’_i*ex_i]_j-\sum_{j}[m’_u*ex_u]_j+\sum_{j}[Ex’^Q_j]-Ex’_{dis}$
ed ecco a voi il bilancio exergetico
Per spiegare ben bene il significato di ogni termine exergetico dovrei prendere il mega sistemone di inizio articolo e dividerlo in tanti mini sistemini fatti in modo tale da escludere ogni forma di scambio energetico ( e quindi , exergetico) per valutare solo quello considerato. Inoltre la pappardella matematica che supporta le equazioni di stato cambia a seconda del fluido , che sia liquido o gas… nel nostro caso considereremo solo gas ideale e liquido ideale.
Potremmo stare anni ad amminchiarci analizzare le diverse equazioni di stato, la deviazione dall’ipotesi di idealità, il principio degli stati corrispondenti, Sasha Grey e l’evoluzione della sua carriera artistica… ma non lo faremo.
E quindi, perdindirindina, come si usa questa Exergia?
Per farlo mi sono ispirato al famoso caso della ” caldaia a condensazione, che ha rendimento maggiore del 100%“.
Dato che noi siamo imparati andiamo oltre gli spazi di là da quella e vi propongo qual è teoricamente il metodo più efficiente a livello exergetico per riscaldare l’acqua data temperatura di partenza e di arrivo, con ovvie assunzioni per semplificare il sistema.
Il discorso , infatti, può essere esteso quanto vogliamo: come riscaldiamo? Gas/Corrente? Come è prodotta la corrente? Con che efficienza? Si vabbè, ciccia: mica possiamo star qui tutto il giorno!
Cerchiamo per lo meno di confrontare tutto partendo da una energia primaria comune e sbattendoci dentro dei rendimenti medi che abbiano un senso ( un po’ quello che si fa nelle valutazioni energetiche quando si passa in TEP etc…).
Le semplificazioni verranno citate per ogni tecnologia, ma in linea di massima limitiamo il volume di controllo al sistema di riscaldamento , che supporremo anche essere adiabatico
Una robetta: “più efficiente” non significa “più economico”, so don’t try this at home!
Dato che abbiam fissato le temperature avremo un nostro θ uguale per tutti i casi,che ricordo esser stato definito come:
$latex \theta_{ex} = 1-\dfrac{T_a}{T_j} $
Quant’è efficiente una caldaia?
$latex \eta=\dfrac{\dot{Q}*\theta}{\dfrac{\dot{Q}}{\eta_{th}}} $
semplificando il calore $latex \dot{Q} $
$latex \eta=\theta*\eta_{th}$, con $latex \eta_{th}= 0.8-0.9$ circa.
Se pensiamo di far la stessa cosa con una resistenza elettrica:
$latex \eta_{ex}=\dfrac{\dot{Q}*\theta}{\dfrac{\dot{E_{el}}}{\eta_{el}}}$
e dato che abbiam supposto un sistema adiabatico , quindi $latex \dot{Q}=\dot{E_{el}}$ :
$latex \eta_{ex}=\theta*\eta_{el}$
con $latex\eta_{el}=0.4$ circa.
Già che ci siamo facciamolo anche con una pompa di calore:
$latex \eta_{ex}=\dfrac{\dot{Q}*\theta}{\dfrac{\dot{E_{el}}}{\eta_{el}}}$
ma per una pompa di calore possiamo approssimare $latex COP= \dfrac{\dot{Q}}{\dot{E_{el}}}=0.4$ circa e quindi
$latex \eta_{ex}=COP*\theta*\eta_{el} =1.2*\theta $
Conclusione
La nostra classifica “exergetico-efficiente” porrà al primo posto la pompa di calore, al secondo la caldaia e al terzo la resistenza elettrica: infatti, a parità di innalzamento della temperatura, il rendimento exergetico della prima classificata sarà circa 3 volte maggiore dell’ultima classificata!
Questo significa che ha senso utilizzare a priori la pompa di calore? Assolutamente no! Come detto precedentemente, il mio scopo non era insegnarvi come si fa, ma perché si fanno certe scelte, dandovi un’idea di cosa ci sta sotto: i casi proposti sono mega teorici e super semplificati .
Spero che l’articolo vi sia piaciuto: questo, in realtà, pone le basi per un’altra discussione interessante : come sono stati creati gli indici di risparmio energetico IRE, RPC o RPS?
Sono la diretta conseguenza di quello che ho scritto fin’ora e basterebbe un articolo di 20/30 righe per scrivervi come sono stati creati: se vi interessa mettetelo nei commenti!
Big Up e che la spaghettosa appendice possa toccare le vostre menti!
In testa all’articolo: Entropy di David Lanham (dlanham.com)
