L’immagine qui sopra descrive concisamente il “volo” del pipistrello durante la sua prima apparizione nel film The Dark Knight.
Ecco la scena in questione:
Tra i commenti, ho notato molte persone criticare l’immagine perché essa non considera l’attrito viscoso dovuto alla presenza dell’aria.
Tale attrito dovrebbe rallentare la caduta di Batman. Ed effettivamente è quello che fa.
Allora mi sono chiesto:
- È possibile quantificare l’errore commesso nel trascurare la forza d’attrito?
- Se è possibile, l’errore è di fondamentale importanza o si può approssimare senza problemi?
Armatevi di pazienza, di mente aperta, una buona tazza di caffé e un minimo di matematica e lo scoprirete. Altrimenti saltate a fine articolo per le conclusioni.
Le premesse
Innanzitutto, dobbiamo capire il problema, impostare dei paletti (le assunzioni da cui si parte) e recuperare dal nostro “scatolone fabbricone” le seguenti informazioni:
- la massa di Batman (se non si è nel vuoto, la massa conta);
- le dimensioni del mantello di Batman (è proprio vero che le dimensioni contano);
- il coefficiente d’attrito di Batman;
- l’equazione differenziale che ne descrive la caduta (con o senza attrito).
F-fatto?
Bene.
Grazie ad un amico appassionato di Batman, ecco le mie stime:
- Massa: 105kg suddivisi in 90kg di muscoli e 15kg di equipaggiamento;
- Mantello: circa [latex]4.2 m^2[/latex];
- Coefficiente di attrito: dipende dalla forma dell’oggetto (in questo caso, ho supposto che il mantello sia un quadrato 2D);
- L’equazione differenziale è di secondo grado. Si ricava dalla cara e vecchia seconda legge della dinamica.
L’equazione è la seguente: [latex]my”(t)-F+mg=0[/latex], dove:
- m è la massa di Batman;
- F è la forza d’attrito viscoso;
- g è l’accelerazione di gravità, più nota come g (derp): vale [latex]9.81 m/s^2[/latex].
y(t) indica la quota a cui si trova Batman al tempo t, y'(t) la sua velocità e y”(t) è l’accelerazione complessiva (gli apici indicano la derivata rispetto al tempo: un apice = derivata prima; due apici = derivata seconda).
La forza di attrito viscoso ha la seguente espressione: [latex]F=pv^2C_D A/2[/latex], con [latex]p[/latex] che indica la densità dell’aria, [latex]v[/latex] la velocità di caduta di Batman, [latex]C_D[/latex] un coefficiente che dipende dalla geometria dell’oggetto [in questo caso il mantello (quadrato) di Batman] e A la sezione trasversale del mantello (in questo caso coincide con l’area del mantello).
Qui c’è una tabella con alcuni valori di [latex]C_D[/latex]: io ho scelto il valore 2 (penultima riga).
Risolviamo l’equazione e passiamo ai grafici
L’equazione quindi diventa [latex]my”(t)-py'(t)^2C_D A/2+mg=0[/latex], dove ho sostituito v=y'(t).
L’equazione si risolve con tanta fatica, sudore e bestemmie Wolfram Mathematica o WolframAlpha, ponendo le condizioni iniziali y(0)=10.5 m (questa è la quota di partenza) e y'(0)=0 (questa è la velocità di partenza).
Ecco il risultato: [latex]y(t)=10.5-ln(cosh(0.69t))/0.049[/latex]
Nel caso senza attrito, basta considerare F=0 e tutta l’equazione che ne descrive il moto si riduce alla conosciutissima formuletta [latex]y(t)=10.5-gt^2 /2[/latex].
Bene, ora abbiamo le due formule, non ci resta che confrontarne i grafici per ottenere l’ordine di grandezza dell’errore commesso con l’approssimazione senza attrito!
Ascissa: tempo (s) Ordinata: quota (m) per le due funzioni in alto & velocità (m/s) per le due funzioni in basso.
La linea blu indica il caso senza attrito, la linea marroncina il caso con attrito, la linea verde la velocità in assenza di attrito e la linea porpora fucsia viola magenta l’ultima linea indica la velocità in presenza di attrito.
Dal grafico si evince che la differenza di tempo è piccola ma non trascurabile (si parla di circa 0.15s, cioè un 10% del tempo di caduta totale). La differenza di velocità è più consistente, si parla di circa 2 m/s di differenza (cioè circa 7km/h).
Il caso senza attrito rimane comunque un ottimo modello, utile per avere velocemente un’idea del tempo di caduta, velocità finale, etc…
Un piccolo bonus
Considerando come caso reale quello con attrito (ma va?), ma ponendoci nel caso senza attrito, se Batman si lancia con lo stesso tempismo di prima, riuscirà comunque a colpire il tettuccio del camioncino?
Per prima cosa bisogna chiedersi: qual è la velocità del mezzo?
10 m/s, perché lo decido io. (Si trova in un parcheggio a più piani, è appena uscito dalla spirale, la velocità è bassa e l’accelerazione del furgoncino non è quella di una Ferrari: mi pare un Ansatz ragionevole)
Batman, nel caso senza attrito cadrà più velocemente, quindi sarà in anticipo di 0.15s rispetto al camioncino. 0.15s x 10m/s = 1.5m Batman, al momento dell’atterraggio, si troverà davanti al mezzo, cioè è atterratto sull’asfalto. E ciò non è bene.
Inoltre viene investito. Da un pazzo che probabilmente non si fermerà a soccorrerlo. Batman o muore o viene portato in ospedale, dove tutti scopriranno la sua vera identità.
Fine.
Conclusioni
La discrepanza dei risultati nei due casi è stimabile in circa il 10% per quanto riguarda il tempo di caduta e circa il 15% per la velocità di arrivo.
Mantenendo le tempistiche della scena reale (con attrito), nella scena “ideale” (senza attrito) Batman atterrerebbe davanti al camioncino e non sopra, portando ad una dolorosa sconfitta (o morte).
Disclaimer
I più esperti di voi, coloro che, bene o male, navigano nel settore, si accorgeranno che ho applicato alcune semplificazioni nella “forma” della forza d’attrito: in particolare, ho considerato [latex]C_D[/latex] costante, quando esso dipende da molti fattori, tra cui la velocità. La caduta è talmente breve che, pur considerando ogni singolo dettaglio, la correzione finale non è importante.
