Qualche giorno fa mi era venuta in mente la seguente domanda:
Quante persone devono esserci in una stanza affinché ci sia almeno il 50% di possibilità che almeno 2 di loro siano nati lo stesso giorno dell’anno? (ad. es. il 1° gennaio).
La certezza dell’evento (ossia la probabilità che l’evento si verifichi è =1) è SOLO quando sono presenti 367 persone (nel caso di anni bisestili): una per ogni giorno dell’anno bisestile, + un’altra persona che PER FORZA è nata in un giorno già “occupato” da qualcun altro.
Quindi ho pensato: se la certezza è 367, per avere il 50% di possibilità di riuscita dovranno essere circa la metà di 367, ovvero 183-184 persone. Ma siccome spesso il calcolo combinatorio ci rivela cose che non ci aspettavamo, avevo concesso alla mia “intuizione matematica” un margine di errore, arrivando a supporre che anche con solo un centinaio di persone la probabilità fosse circa del 50%.
Allora ho cominciato facendo i conti ma arrivavo a conclusioni completamente sballate (già con una ventina di persone arrivavo al 60% di possibilità di riuscita): allora ho contattato @Pazqo e gli ho sottoposto il mio quesito.
Lui mi risponde in men che non si dica, dicendo che già con una ventina di persone la possibilità è circa del 50%. COSACOSACOSA?? O_o
Allora avevo ragione? Ovviamente no, in matematica se ci si sbaglia di un 10% ci si sta sbagliando e basta. 
Però, siccome anche la soluzione giusta andava a sfracellarsi contro gli scogli della mia intuizione, ho chiesto maggiori dettagli e Pazqo mi risponde che questo problema è noto come “Paradosso del compleanno” (qui mi sia permesso un appunto: la parola “paradosso” non va intesa propriamente in senso logico-matematico, ovvero che a partire da premesse vere si arriva a conclusioni contraddittorie, ma va intensa in “senso comune”: è un paradosso nel senso che si scontra col nostro intuito).
Su wiki c’è già tutto, ma mi sono flashato talmente tanto che vi riassumo come si imposta il problema: l’idea è che per calcolare in maniera diretta la probabilità che l’evento si verifichi occorre fare una marea di calcoli che, ad ogni nuova aggiunta, eliminino le singole probabilità che le persone che ho già contato non siano nate lo stesso giorno dell’ultima persona introdotta (“principio di inclusione-esclusione“).
Pazqo mi dice che il modo più semplice per effettuare il calcolo è quello di calcolare la probabilità complementare, ovvero la probabilità che, ad ogni nuova persona aggiunta, NON si dia il caso che essa sia nata lo stesso giorno di quelle già considerate.
Tale probabilità si calcola così:
- Detto P(2) la probabilità che 2 persone NON siano nate lo stesso giorno, essa è evidentemente: (casi favorevoli / casi possibili) = 365 / 366.
Detta P(3) la probabilità che 2 persone NON siano nate lo stesso giorno, essa è evidentemente: 364 / 366
e via dicendo…
Ora noi vogliamo che TUTTE queste possibilità si verifichino contemporaneamente, ovvero, tradotto in matematica, dobbiamo fare un prodotto con tutte le frazioni che otteniamo.
P(totale) sarà quindi: P(2)*P(3)*P(4)*…
A noi però interessa l’evento completare, no? Perché questa è la probabilità che N persone NON siano nate lo stesso giorno. Quindi facciamo il calcolo e poi sottraiamo dalla certezza il nostro risultato: 1 – P(totale)
Questo è quello che otteniamo, mano a mano che aggiungiamo persone, è:
Come vedete, la certezza si ha asintoticamente proprio con 367 persone, come avevamo supposto all’inizio (qui non riporto il grafico oltre le 60 persone perché altrimenti veniva troppo piccolo), ma già con 23 la possibilità di vittoria è del 50% (molte meno delle 100 che avevo ipotizzato!!), mentre con 60 persone aumenta fino ad un drastico 99% !!! O_O
Cazzo ancora mi ci devo abituare a questo risultato, però poi penso alla frase EPICA di John Von Neumann e mi tranquillizzo: “La matematica non si capisce, alla matematica ci si abitua” (considerando che è stato uno dei matematici più brillanti di sempre..)
Quindi, se siete in un ristorante mediamente affollato e non avete il portafogli (ma non vi va di fare la figura dei pezzenti) scommettete con un vostro commensale che nel ristorante ci sono almeno due persone nate lo stesso giorno. Siccome è un fatto controintuitivo quello scommetterà e voi vi farete pagare la cena! 
Approfondimenti:
wiki
Richard von Mises, lo scopritore di tale paradosso.
Bob | NC21 10:36 am on gennaio 14, 2012 | 421573
Leggendo il titolo ho appena realizzato che ogni 4 anni il proprio compleanno shifta di un giorno.
Thal 12:58 pm on gennaio 14, 2012 | 421605
In realtà no, perchè ogni anno shifta in senso opposto di circa 6 ore quindi nell’anno bisestile le cose semplicemente si riaggiustano
Corsaromelo 12:23 pm on gennaio 16, 2012 | 421906
No aspè…in realtà ogni anno shifta di un giorno in avanti; mentre negli anni bisestili shifta di due
django 10:48 am on gennaio 14, 2012 | 421574
Bell’articolo, mi ha fatto venire in mente questo:
http://www.youtube.com/watch?v=wCLxmy1DpF0
Bob | NC21 10:58 am on gennaio 14, 2012 | 421575
CRISTODDYO, non puoi fare certe cose senza un disclaimer!! Mi sanguinano le orecchieeeeeeeee!
lancilnove 11:00 am on gennaio 14, 2012 | 421578
abbo 11:04 am on gennaio 14, 2012 | 421579
calcola l’ho aperto con le casse spente. MENO MALE CHE BOB C’E’. -.-
sabas 11:06 am on gennaio 14, 2012 | 421580
Lucadiesel 1:21 pm on gennaio 14, 2012 | 421610
JackNapier 8:30 pm on gennaio 14, 2012 | 421776
sabas 10:59 am on gennaio 14, 2012 | 421577
mario880 11:31 am on gennaio 14, 2012 | 421582
Volevo solo ricordare come la cosa si leghi fortemente al problema delle “collisioni” negli algoritmi di cifratura e di hash.
mario880 11:33 am on gennaio 14, 2012 | 421583
dimenticavo… per info googlate “Birthday attack”.
pazqo 11:47 am on gennaio 14, 2012 | 421586
lorenzo22 11:44 am on gennaio 14, 2012 | 421585
Non vorrei sbagliarmi ma la probabilità dell’ evento complementare A”={ nessuno compie gli anni lo stesso giorno} non è:
P(A”)=(365*364*….*(365-n+1))/(365^n)?.
lorenzo22 11:48 am on gennaio 14, 2012 | 421587
N come numero di persone
pazqo 11:49 am on gennaio 14, 2012 | 421588
E non è la stessa che ha scritto lui? (bisestile a parte, ovviamente)
lorenzo22 12:18 pm on gennaio 14, 2012 | 421593
A denominatore (l’ho dedotto io) lui parte da 366 a scalare, invece nella mia formula le persone vengono prese in disposizioni con ripetizione (365^n)
pazqo 12:24 pm on gennaio 14, 2012 | 421594
Sì, hai ragione, ma credo sia stata una svista. Summoniamo @abbo che ci dica se voleva scrivere 364/366 o se invece voleva scrivere quello che ha scritto
Certo, metterci un caso in più tagliava la testa al toro
abbo 12:30 pm on gennaio 14, 2012 | 421598
svista, correggo.
pri2p 11:54 am on gennaio 14, 2012 | 421589
Bello l’articolo.
Il calcolo combinatorio riserva sempre molte sorprese.
abbo 12:00 pm on gennaio 14, 2012 | 421590
Ho ricevuto il plauso di @sabas. Mi ci sono voluti 99 post, ma alla fine ce l’ho fatta.
lucamrblonde | veronerd™ 12:12 pm on gennaio 14, 2012 | 421591
Bell’articolo Abbo, hai anche il mio plauso
Gorenfield 12:13 pm on gennaio 14, 2012 | 421592
“Qualche giorno fa mi era venuta in mente la seguente domanda:..”
adesso pretendo un articolo sul perchè diavolo ti è venuta in mente la domanda!
pazqo 12:25 pm on gennaio 14, 2012 | 421595
Ha parlato l’uomo senza curiosità.
abbo 12:27 pm on gennaio 14, 2012 | 421596
Quando cominci a capire che la matematica è l’unico modo rigoroso di trattare l’universo, non puoi più tornare indietro.
ps: chiedi a un matematico/fisico cosa pensa quando affronta una curva con la macchina (o quando si vede sorpassare da uno che va poco più veloce di lui…)
Thal 1:02 pm on gennaio 14, 2012 | 421607
Credo di avere la testa da matematico allora
Pedro99 4:39 pm on gennaio 14, 2012 | 421660
@abbo
Per caso è perchè hai letto il libro di Marco Malvaldi?
abbo 5:30 pm on gennaio 14, 2012 | 421695
non so neanche chi sia… me lo consigli, comunque?
Pedro99 6:39 pm on gennaio 14, 2012 | 421742
Si, decisamente!
E’ una specie di Camilleri in piccolo, ma da buon pisano ci mette parecchio humor toscano. Il ciclo del “Barrino” è molto divertente. L’autore è laureato in chimica e il protagonista del ciclo del Bar è un matematico e usa spesso ragionamenti scientifici per risolvere i casi. In uno dei racconti usa appunto il paradosso del compleanno per vincere una scommessa!
http://it.wikipedia.org/wiki/Marco_Malvaldi
JamesElio | Nè 12:38 pm on gennaio 14, 2012 | 421601
Ma he spettacolo..complimenti!!
pazqo 12:50 pm on gennaio 14, 2012 | 421603
Volevo far notare, ricollegandomi anche alla discussioncina riguardo random.org, che quello che uno si “aspetta” non è per forza quello che è più probabile.
Supponiamo di estrarre da un’urna con 366 palline, una pallina alla volta, con reinserimento (cioè, una volta estratta la pallina mi segno il numero e la rimetto nell’urna). Se estraggo 366 palline, un qualche “senso comune” mi direbbe che dovrebbero essere tutte uniformemente distribuite tra 1 e 366, quindi tutte differenti. Invece è praticamente ovvio (anche visto il conto fatto nell’articolo) che la stessa pallina sia stata estratta due volte. Quindi è chiaro che ci sarà qualche numero che esce più volte prima che possano uscire anche gli altri. Questo dovrebbe smontare completamente la teoria dei ritardatari che piace tanto a chi gioca al lotto. E’ possibile calcolare esattamente quanto ritardo medio ci si aspetta da un numero, e qual è la varianza, i.e. qual è l’intervallo, intorno al ritardo medio, in cui è possibile cadere senza “allarmarsi”. Non ho alcuna voglia di farlo, ma si può fare.
Invito tutti quelli interessati a leggere “A-ha, Gotcha” di Martin Gardner (edito anche in italiano ma non ricordo il titolo, forse “paradossi stimolanti e divertenti -penoso-).
Sam Crow 1:42 pm on gennaio 14, 2012 | 421615
libro non disponibile in italiano per Kindle..ehehhehe
Clostridium 6:59 pm on gennaio 14, 2012 | 421747
Esatto! La teoria dei ritardatari! La smonto sempre. Ma non mi credono mai i vecchiotti del mio paese quando dico che ogni numero ad ogni estrazione ha la stessa probabilità di tutti gli altri di uscire, anche se è un ritardatario.
E idem il sesso dei figli. Uno che fa 2 figli maschi crede che sia più probabile che il terzo sia femmina, invece è sempre 0,5.
Bel post.
pazqo 7:11 pm on gennaio 14, 2012 | 421749
In effetti l’esempio dei figli è “illuminante”! La probabilità che siano due figli maschi e una femmina è di 3/8 (MMF, MFM, FMM su tutte le possibili combinazioni M/F = 2^3), ma sapenso che già due sono maschi non siamo più in questo regime di imparzialità e la probabilità torna a essere 1/2
pri2p 7:50 pm on gennaio 14, 2012 | 421766
Tipo Monty Hall…
bako 6:32 pm on gennaio 15, 2012 | 421874
monty hall (citatio needed:
http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall )
mi ha fatto venire in mente il libro: “lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte” (http://it.wikipedia.org/wiki/Lo_strano_caso_del_cane_ucciso_a_mezzanotte)
DRENNERD 2.0 7:18 pm on gennaio 14, 2012 | 421754
mai sprecare fiato coi vecchiotti!
Lucadiesel 1:22 pm on gennaio 14, 2012 | 421611
Old but gold.
alexey86 1:34 pm on gennaio 14, 2012 | 421614
uber figata!
ghiacciolo1 1:50 pm on gennaio 14, 2012 | 421619
Ottimo articolo!
Anch’io dopo il commento di Pazqo in Random.org me l’ero andato a vedere
abbo 3:20 pm on gennaio 14, 2012 | 421647
il commento di @Pazqo è successivo alla nostra discussioni in merito.
itomi 2:23 pm on gennaio 14, 2012 | 421627
EkV 2:48 pm on gennaio 14, 2012 | 421635
EkV 3:08 pm on gennaio 14, 2012 | 421642
Mi sono reso conto adesso che questo è un post di @Abbo: il fatto che fosse un bell’articolo mi ha fuorviato.
Thal 9:58 pm on gennaio 14, 2012 | 421787
laure3 | NC13 5:04 pm on gennaio 14, 2012 | 421675
si puo’ mettere il
a @Pazqo per la collaborazione? il mi browser mi conosce e mi impedisce di mettere il 
a @Abbo
abbo 5:32 pm on gennaio 14, 2012 | 421703
L’importante è che non glielo dici a tuo marito, senno’ ti caccia di casa a calci in culo (con la sua bella maglietta firmata “Tyrion Lannister”)
mgnever 5:25 pm on gennaio 14, 2012 | 421688
Volevo fare una domanda a @Pazqo ..
Sei tu vero quello che su yahoo answer ha pubblicato la formula per calcolare l’area del pene vero?
abbo 5:31 pm on gennaio 14, 2012 | 421700
Mgnorantever, che cazzo vuol dire l’area del pene? E’ una superficie il pene? Al massimo il volume del pene, al massimo…
mgnever 5:34 pm on gennaio 14, 2012 | 421707
@abbo ho citato la domanda per quella che era. E’ stato chiesto su yahoo answer l’area del pene e così ho riportato. Quindi stai calmo perchè lo so che ti interessa molto, ma il mio pene è 3d, non 2d.
abbo 5:36 pm on gennaio 14, 2012 | 421710
ok, ora sono tranquillo.
pazqo 5:57 pm on gennaio 14, 2012 | 421725
certo che no, quello è un ingegnere. io avrei immerso il cazzo in una bacinella cilindrica piena d’acqua e misurato la differenza tra l’altezza dell’acqua prima e dopo. Archimede FTW
William J. 9:02 pm on gennaio 14, 2012 | 421779
Dek1 7:12 pm on gennaio 14, 2012 | 421750
Ci pensate che succede la stessa cosa per la data di morte?! Praticamente sempre nello stesso ristorante avete la medesima probabilità di trovare due che moriranno lo stesso giorno!
DRENNERD 2.0 7:21 pm on gennaio 14, 2012 | 421755
se ci metti una bomba, poi…
abbo 7:43 pm on gennaio 14, 2012 | 421764
Dek1 9:02 pm on gennaio 14, 2012 | 421778
Se ci sono terroristi la probabilità aumenta alla grande!
Paolo 9:11 pm on gennaio 14, 2012 | 421782
You Win.
E adesso che ci penso:
alle elementari: 18 compagni di classe, 2 compivano gli anni lo stesso giorno.
Media: 23 compagni di classe, nessuno compiva gli anni lo stesso giorno
superiori:19 compagni di classe, 2 compivano gli anni lo stesso giorno
Thal 9:59 pm on gennaio 14, 2012 | 421788
si parla pur sempre di media del pollo.
Paolo 1:35 am on gennaio 15, 2012 | 421812
semplicisticamente parlando si, ma io ho usato il mio esempio per affermare che il risultato ottenuto non é poi cosi sconcertante!
fra9001 | Nè 10:13 pm on gennaio 14, 2012 | 421791
The cake is a lie.
Sparagnino 11:09 am on gennaio 15, 2012 | 421827
Il 7 settembre 2011, giorno del mio compleanno, sono andato al FOTA Fan Forum, un evento qui a Milano dove piloti e tecnici di F1 rispondevano alle domande dei blogger.
Eravamo circa 200 persone… e ci sono stati ben 3 blogger che come domanda hanno chiesto ai piloti: “mi fai gli auguri, oggi è il mio compleanno”.
Al terzo blogger (e meno male che io sono stato zitto) è scoppiata l’ilarità generale. La prossima volta mi porto questo articolo da leggere ad alta voce.
pazqo 1:32 pm on gennaio 15, 2012 | 421842
Che merda di forum che doveva essere.
ciuffo 12:02 pm on aprile 13, 2012 | 453605
E´molto grave che la stessa domanda l’abbia letta nel passato come quesito della Susi qualche anno fa e come articolo del Manuale delle Giovani Marmotte di mooolti anni fa?
