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Viaggio alla scoperta della Relatività

di Il Cavaliere di Berzelius | Nè 11—Giu—2011 / 8:26 PM

Con questo articolo intendo cominciare una rubrica che ci porterà a scoprire la relatività, a partire da quella galileiana per arrivare a quella generale di Einstein.

Relatività galileiana

Tutto parte da una osservazione di Zenone che, in uno dei suoi paradossi, diceva che se prendiamo due carri che vanno in direzioni opposte, incrociandosi, entrambi ai 100 Km/h (ok, forse non dei carri…), allora ad un osservatore su di uno dei due carri sembrerà che l’altro carro viaggi a 200 Km/h. Da questo lui deduceva che il moto fosse un’illusione, Galileo invece dedusse la sua relatività.

Immaginiamo due osservatori, uno fermo ed uno che si muove a velocità costante.

Se entrambi osservano un tizio muoversi, essi misureranno velocità differenti, proprio come nel paradosso.

In questo caso, però, la cosa non viene interpretato come “l’illusione del moto”, ma come il fatto che ogni osservazione su un evento è relativa al suo sistema di riferimento.

Già, perché se io lascerò cadere una moneta su un treno a velocità costante, la vedrò cadere verticalmente (rispetto a me che mi sto muovendo però), un esterno dotato di vista a raggi x la vedrà cadere secondo un moto parabolico dovuto alla velocità della moneta nella direzione del treno nel momento e all’accelerazione di gravità verso il basso. Un tizio sul Sole vedrebbe la moneta muoversi anche secondo la rotazione/rivoluzione terreste, ecc…

Tutti e tre ovviamente hanno ragione. Questo ci insegna che non esistono misure assolute, ma solo misure relative.

Occorre notare che queste osservazioni valgono soltanto per osservatori inerziali, su di cui, cioè, non agiscono forze (e quindi non sono accelerati). Per estendere questi principi anche ad osservatori accelerati occorre aspettare che un certo signor Albert Einstein pubblichi la relatività generale.

Il crollo della fisica classica

Galileo quindi ci diceva che la velocità vista dall’osservatore in movimento è uguale a quella vista dall’osservatore fisso più o meno quella con cui si muove. Più se si muovono in direzioni opposte, meno nell’altro caso. Noi consideriamo il secondo.

Quindi:

$latex {v’=v-V}$
dove
$latex v’$ = velocità registrata dall’osservatore in movimento
$latex v$ = velocità registrata dall’osservatore fisso
$latex V$ = velocità dell’osservatore in movimento

Questa, però, è una relazione vettoriale e non una semplice formula. Per facilitare le cose immaginiamo un sistema di coordinate cartesiane, dove l’osservatore si muove solo sull’asse x. In questo modo le velocità sugli assi y e z (se vogliamo le tre dimensioni) saranno uguali per ogni osservatore, e sull’asse x la relazione di cui sopra sarà effettivamente una semplice differenza.

I tempi registrati da entrambi gli osservatori saranno gli stessi.

Analoghe trasformazioni, oltre che per le velocità, valgono anche per gli spazi misurati. Valgono le stesse considerazioni che avevamo fatto per le velocità su di esse.

Questo avveniva nel 1600; nel 1800, Maxwell, studiando l’elettricità ed il magnetismo (che, con le sue celebri equazioni fuse nell’elettromagnetismo), si accorse che la costante dielettrica del vuoto e la permeabilità magnetica del vuoto erano legate alla velocità della luce nel vuoto C (300000 Km/s).

Le sue equazioni e l’esperimento di Young dimostrarono che la luce non era formata da corpuscoli, bensì un’onda elettromagnetica, che si propaga nel vuoto (come tutte le onde elettromagnetiche) a velocità C. Di qui sorsero due problemi:

Primo problema: le onde hanno bisogno di un mezzo per propagarsi, i fisici allora decisero che le onde si propagano in un mistico etere luminifero, che permea la realtà e che non interagisce con niente.

Secondo problema: le trasformazioni di Galileo sono valide anche per la velocità della luce? Se si come dimostrarlo?

Michelson, con il suo celebre esperimento (il cui apparato sperimentale è mostrato nella foto in cima all’articolo), che ripeté tre volte, l’ultima delle quali aiutato da Morley, che lo aiutò ad affinare la precisione dei suoi strumenti, provò a misurare il vento d’etere, cioè lo spostamento che l’etere avrebbe dovuto subire a causa del movimento della Terra attraverso di esso (un po’ come l’acqua che si sposta quando nuotiamo in piscina).

L’esperimento non solo dimostrerà l’inesistenza di questo vento d’etere, ma dimostrò anche che C non si somma alla velocità della Terra (circa 30 Km/s).

Tragedia! L’esperimento che doveva provare l’esistenza dell’etere e che, invece, ne ha causato la rovina, non pago, faceva crollare anche la relatività galileiana.

Lorentz allora, tentando di salvare l’etere (che poi verrà definitivamente abbandonato agli albori della meccanica quantistica), propose che spazio e tempo si deformassero in qualche modo. Incredibile ma vero, partendo da ipotesi errate, giunse a conclusioni esatte.

Trasformazioni di Lorentz

Einstein ricavò le stesse conclusioni di Lorentz (cui ancora devono il nome) partendo da due presupposti alla base della relatività:

Le leggi della fisica sono invariabili per osservatori inerziali (venivano rispettate, se ricordate, quando tutti guardavano una moneta cadere su un treno in movimento).
C’è costante e invalicabile.

Le trasformazioni di Lorentz applicano delle correzioni a quelle di Galileo, intervenendo anche sul tempo:

$latex {t’=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x)}$
$latex {x’=\gamma(x-vt)}$
$latex {y’=y}$
$latex {z’=z}$

Le trasformazioni che vediamo sono per lo spazio ed il tempo. Con l’apice sono spazio e tempo osservati dall’osservatore in movimento, e

[latex size=”3″]\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/latex]

è detto fattore di Lorentz. Fino a velocità vicine a circa 0.5C (metà della velocità della luce) resta quasi 1. A 0.8C è ancora minore di 2, a 0.99C circa 7, a 0.999C circa 22. Di li in poi cresce molto velocemente, tendendo ad infinito per una velocità pari a C. Questo fattore è importantissimo per tutte le considerazioni che faremo a partire dalle trasformazioni di Lorentz.

Grafico del fattore di Lorentz

Cosa ci dicono, a prima vista, queste trasformazioni?

Intanto y e z non cambiano, come aveva già osservato Galileo.
x cambia invece, non come diceva Galileo, ma secondo dei parametri più complessi, che analizzeremo la prossima volta.

Anche t cambia tra i due osservatori, mentre Galileo sosteneva fosse invariante. Anche questa cosa la analizzeremo meglio la prossima puntata.

Galileo si sbagliava quindi? No, perchè le nostre esperienze quotidiane si svolgono tutte a velocità basse, per le quali le formule di Lorentz si approssimano a quelle di Galileo.

A presto per la seconda parte, dove ci divertiremo con le deformazioni dello spazio e del tempo e scopriremo il significato di $latex {E=mc^2}$.

Viaggio alla scoperta della Relatività

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