Viaggio alla scoperta della Relatività (seconda parte) #LegaNerd

Nel precedente articolo (qui) abbiamo visto le trasformazioni di Lorentz ed i principi alla base della relatività. Cominciamo a vedere le conseguenze della teoria:

Dilatazione dei tempi

Dalle trasformazioni di Lorentz (d’ora in poi le chiamerò TL per abbreviare) si ricava la seguente formula:

$latex {dt=\gamma \cdot dt’}$

$latex dt$ = intervallo di tempo misurato da osservatore fermo
$latex {\gamma}$ = fattore di Lorentz
$latex dt’$ = intervallo di tempo misurato da osservatore in movimento

Quindi un corpo che si muove percepisce il tempo scorrere in maniera differente rispetto ad uno fermo.
Ancora una volta, alle velocità cui siamo abituati questo non accade, perché $latex {\gamma}$ a quelle velocità è 1, però più ci si avvicina a C, più la dilatazione del tempo cresce, quindi:
Un corpo in movimento percepisce il tempo scorrere più lentamente rispetto ad uno fermo.
Da qui il famoso paradosso dei gemelli, sotto approfondimento:
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Contrazione delle lunghezze

Un’altra formula che si ricava dalle TL è questa:

$latex {L’=\frac{L}{\gamma}}$

$latex L$ = lunghezza da fermo
$latex L’$ = lunghezza in movimento

Quindi:
Un corpo in movimento subisce una contrazione nella direzione del moto.
Ovviamente anche in questo caso questo fenomeno si avverte solo a velocità prossime a C.

Cosa succede se uguagliamo le due formule rispetto a $latex {\gamma}$ lo vedremo la prossima volta, dove lo utilizzerò come pretesto per introdurre lo spaziotempo, ora cerchiamo di dimostrare questa teoria:

La dimostrazione: il caso dei muoni

I muoni sono particelle subatomiche con la carica dell’elettrone, ma 200 volte più pesanti ($latex {105,6\; MeV/C^2}$ a riposo contro i $latex {0,511\; MeV/C^2}$ dell’elettrone), questo li rende particolarmente instabili. Il loro tempo di decadimento è di circa un microsecondo e decadono in un elettrone e due neutrini, che non ci interessano.
Questi muoni vengono generati nell’alta atmosfera (circa 10 Km di altezza) per interazione dei raggi cosmici con gli atomi che la compongono.
Ora, anche se viaggiassero alla velocità della luce, facendo i conti, “morirebbero” dopo aver percorso circa 300 metri, senza quindi giungere a terra. Come mai però accade il contrario?
In effetti viaggiano a velocità superiori a 0.999C e, quindi, incappano nella contrazione/dilatazione.
Noi a terra lo vedremo viaggiare alla sua velocità, impiegando qualche millisecondo per arrivare a terra. Questo perchè nel nostro sistema di riferimento lo vediamo muoversi a velocità relativistiche, incappando nella dilatazione dei tempi.
Cambiamo sistema di riferimento, ponendoci in quello del muone fermo; ciò significa che ci mettiamo in un sistema di riferimento solidale al moto del muone, vedendolo quindi fermo (immaginatevi in autostrada, affiancati ad un’altra auto, se viaggiate alla stessa velocità vi sembrerà ferma), in questo caso sarà la Terra ad andargli incontro a velocità relativistiche. La Terra incapperà quindi nella contrazione delle lunghezze, rendendo minore il percorso che il muone deve percorrere per giungere a terra, cosa che realmente accade.
Grazie a questo, quindi, percorrono più spazio di quello previsto senza la relatività, tanto da giungere a terra.
La relatività è quindi dimostrata!

Massa ed energia

Studiando la quantità di moto (una quantità molto importante nel mondo fisico), Einstein giunge ad una conclusione passata alla storia:

$latex {E=mc^2}$

Tutti la sanno, molti però non comprendono il suo reale significato. Si dice che se un oggetto va alla velocità della luce allora dovrebbe avere massa infinita, ma perché? La massa non è costante? Questa formula mica dice il contrario…
Sbagliato: in questa formula m, la massa, dipende dalla velocità, secondo questa formula:

$latex {m=m_0 \gamma}$

$latex {m_0}$ = massa a riposo, cioè quando il corpo non si muove
$latex {\gamma}$ = lorentziano (il nostro vecchio amico che compare dappertutto in relatività)

Quindi la massa aumenta con l’aumentare della velocità. Come sappiamo però il lorentziano vale circa 1 anche fino a velocità di 0.1 C, quindi ancora una volta gli effetti sulla nostra esperienza di vita quotidiana sono trascurabili mentre, da 0.5 C in poi, comincia ad aumentare, fino a diventare infinito a C.
Concentrandosi sulla massa, più un corpo si avvicina a C, più la sua massa aumenta, fino a diventare infinita, è quindi chiaro che nessun corpo potrà mai raggiungere C.
Nella fantascienza infatti per ovviare a questo problema si ricorre ad artifici come la curvatura, l’iperspazio o wormhole, giusto per citarne qualcuno.

È logico allora chiedersi cosa succede alla luce: in realtà la luce è sia un’onda che una particella, chiamata fotone (lo scoprì Einstein qualche anno prima, noi lo vedremo quando comincerò a parlare della meccanica quantistica, dopo aver terminato la relatività), ma la sua massa a riposo è zero.
A velocità inferiori a C la massa continuerebbe a essere 0, un non-senso, quindi può andare soltanto a velocità C, dove lo zero della sua massa a riposo e l’infinito del lorentziano si compensano a vicenda).
Ovviamente nel caso della luce l’energia non si può più calcolare con la formula sopra, ma va fatto a partire dalla frequenza (o dalla lunghezza d’onda, che è poi la stessa cosa).

Possono esistere infine corpi che viaggiano oltre C?
Il lorentziano esploderebbe regalandoci simpaticissimi numeri immaginari. La nostra massa diventerebbe immaginaria, cosa che non ha senso, quindi noi non possiamo andarci. Nemmeno la luce potrebbe, perché oltre C lo zero della sua massa non sarebbe più compensato dall’infinito del lorentziano.
La teoria non esclude però l’esistenza di particelle che viaggino oltre la velocità della luce, le quali però non potranno mai rallentare fino a C o, addirittura, sotto a C e sono quindi costrette a muoversi velocissime. Queste particelle prendono il nome di tachioni, ma non ne abbiamo mai visto uno ed è possibile che non potremmo mai farlo, quindi la loro esistenza per ora è puramente teorica.

Approfondimenti:
-Relatività ristretta (wiki)
-$latex {E=mc^2}$ su (wiki)
-Un’ulteriore spiegazione della contrazione delle lunghezze nel caso dei muoni
-Muone (wiki)
-Tachioni (wiki)

[Lezioni di Fisica] è la rubrica di divulgazione scientifica curata da @il-cavaliere-di-berzelius

Il Cavaliere di Berzelius | Nè a.k.a. Il Cavaliere di Berzelius | Nè

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lunedì 20 giugno 2011 - 20:55
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