Viaggio alla scoperta della Relatività (terza parte)

Dopo un tre settimane di inattività causa visita al CERN e fancazzismo, riprendiamo la rubrica da dove l’avevamo lasciata, ovvero la relatività speciale. Le puntate precedenti qui e qui.

Lo spaziotempo

Nell’articolo scorso ci siamo chiesti cosa sarebbe accaduto se avessimo uguagliato le formule di contrazione e dilatazione rispetto a $latex {\gamma}$. La formula che si ricava è semplice:

$latex {\gamma=\frac{dt’}{dt}=\frac{L}{L’}}$

dt = intervallo di tempo misurato da osservatore fermo
dt’ = intervallo di tempo misurato da osservatore in movimento
L = lunghezza da fermo
L’ = lunghezza in movimento
$latex {\gamma}$ = fattore di Lorentz

Osservando la formula notiamo come, con l’aumentare della velocità e, quindi, di $latex {\gamma}$, il tempo misurato dall’osservatore in movimento si dilata e lo spazio, sempre dell’osservatore in movimento, si contrae, ma questo avviene in modo non indipendente l’uno dall’altro.
Questo porta ad una rivoluzione ulteriore: prima di Einstein, infatti, si consideravano lo spazio ed il tempo come due entità separate e tutte le teorie scientifiche funzionavano di conseguenza; perfino la meccanica quantistica inizialmente era figlia di questa concezione, i cui difetti però si facevano sempre più evidenti.
Con la relatività, Einstein rivoluziona questo modo di pensare, introducendo lo spaziotempo: spazio e tempo non sono più due entità indipendenti, bensì una unica. Lo spazio in cui viviamo non è semplicemente tridimensionale, con il tempo che se ne va per i fatti suoi, ma a tutti gli effetti uno spazio quadridimensionale. Questo spiega la formula sopra e da anche un senso alla formula delle trasformazioni di Lorentz:

$latex {t’=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x)}$

che dice che il tempo si modifica in base all’osservatore. Con la vecchia concezione questo non sarebbe dovuto accadere!

Elettromagnetismo e Relatività

L’elettromagnetismo ci dice che una carica genera un campo elettrico, e che una carica in movimento genera anche un campo magnetico.
Maxwell per primo dimostrò il legame tra le due forze, introducendo il concetto di elettromagnetismo, con le sue celebri equazioni, ma qual è la relazione tra i due fenomeni?
La relatività speciale ce lo spiega meravigliosamente in modo matematico (metterò un link per chi ne è interessato), ma si può anche trovare una spiegazione più comprensibile di semplici formule:

Prendiamo un filo, infinitamente lungo (il classico cheat usato da noi fisici).
In questo filo scorre un flusso di elettroni, che si muove da sinistra a destra a velocità V (dell’ordine dei millimetri al secondo!). Avremo quindi una corrente elettrica I che scorre da destra a sinistra.
Questo filo è composto da degli atomi ionizzati positivamente, da cui provengono gli elettroni.

Prendiamo un osservatore che vede gli atomi ionizzati fermi.
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[/more]
Lui vedrà un campo magnetico B attorno al filo generato dalla corrente I, generata a sua volta dal movimento degli elettroni ed una carica complessiva nulla, niente campo elettrico quindi.

Fuori dal filo abbiamo una carica positiva q, che si muove alla stessa velocità V degli elettroni e nella loro stessa direzione. Su di essa agirà il campo magnetico, con una forza in questo caso repulsiva, determinata dalla forza di Lorentz (sempre lui, catso!), di modulo:

$latex {F=qVB}$

Prendiamo ora un osservatore che si muove alla stessa velocità e nella stessa direzione del flusso di elettroni e della carica q.
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[/more]
Lui vedrà la carica q ferma, così come gli elettroni, ed il filo (e, quindi gli ioni +) muoversi da destra verso sinistra a velocità V (generando la stessa corrente I).
La carica q lui la vede ferma, quindi il campo magnetico generato dalla corrente non influisce su di essa (la forza dipende dalla velocità, che in quel sistema di riferimento è nulla).
Non vede neanche un campo elettrico perché il filo è a carica nulla… Allora la relatività è sbagliata?

No, perché abbiamo dimenticato una cosa: il filo si sta muovendo!
Nell’altro sistema di riferimento il filo era a riposo, quindi le densità di carica (e, di conseguenza, le cariche), si compensavano.
Ora però il filo si muove, la sua densità di carica quindi sperimenterà una dilatazione dovuta alle leggi della relatività; anche se si muove a velocità piccolissime (mm/s) questa dilatazione è sufficiente a fare prevalere le cariche + su quelle -.
Si genera quindi un campo elettrico che respingerà anch’esso la nostra carica q, con una forza di modulo:

$latex {F=qE}$

Facendo i conti troveremmo che il modulo della forza che agisce su q dovuta al campo elettrico è uguale a quello di prima.

Concludendo: ogni osservatore concorda sulla forza che agisce sulla particella q, qualcuno dirà che è colpa di un campo elettrico, qualcun altro che è per via di un campo magnetico, un altro ancora dirà che è una mistura di entrambi. Quindi la distinzione tra campo elettrico e campo magnetico non è che un qualcosa di artificiale: in realtà sono la stessa cosa!
Con questo abbiamo finito di trattare la relatività speciale.

Next time: il conflitto tra gravità e relatività ed i tentativi di Einstein di sanarlo.

Approfondimenti:
-Spaziotempo
-Equazioni di Maxwell
-Elettromagnetismo relativistico (in inglese)
-Formalismo covariante dell’elettromagnetismo (per esperti, in inglese)