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[quote]Quel gatto ha dei seri componenti periodici.[/quote]
I matematici sono un po’ come degli stregoni. Sono in grado di fare cose che la gente normale non è in grado di fare: possono predire il futuro, elaborare codici, capire come funzionano le cose.
Esattamente come gli stregoni, i matematici usano delle formule magiche, spesso criptiche, dette anche equazioni. Bisogna studiare per anni prima di poterle comprendere, di farle proprie. Bisogna essere dei veri e propri maghi. Ma una volta imparato il linguaggio della magia matematica, si apre un nuovo universo. Si vede il mondo con occhi più aperti. Si capisce che tutto ciò che ci circonda è fatto di magia matematica e che grazie a questa possiamo capire e plasmare il mondo, creare oggetti, costruire palazzi, ingannare le persone, far volare gli aerei, prevedere il tempo.
Nel corso della storia sono esistiti ed esistono ancora centinaia di questi stregoni. Solo alcuni di loro hanno inciso il loro nome negli annali della storia. Quello che sto per raccontarvi è la storia e il funzionamento della formula magica di uno dei più importanti stregoni di tutti i tempi, Joseph Fourier. Egli nacque nel 1768 nella città di Auxerre, tra Parigi e Dijion.
[title]Joseph Fourier[/title]
Ogni mago che si rispetti ha con se un libro degli incantesimi su cui sono scritte le proprie formule. Quello di Fourier si chiama [i][url=http://ia700201.us.archive.org/12/items/analyticaltheory00fourrich/analyticaltheory00fourrich.pdf]Théorie analytique de la chaleur[/url][/i], ovvero [i]Teoria analitica del calore[/i]. Ma cominciamo la storia dall’inizio.
Orfano da bambino, Fourier fu cresciuto in una scuola militare di monaci benedettini. Proprio per questo era destinato a diventare monaco, ma lo scoppio della rivoluzione francese nel 1789 gli consentì di dare libero sfogo alla sua passione per la matematica e la vita militare.
Napoleone, futuro imperatore, riconobbe le capacità eccezionali del ragazzo e dato che stava istituendo le accademie che avrebbero dato il via alla rivoluzione culturale e militare francese, lo nominò docente di matematica all'[url=http://it.wikipedia.org/wiki/%C3%89cole_Polytechnique]École Polytechnique[/url].
Negli anni seguenti Napoleone fu così impressionato da Fourier che decise di portarlo con se nella [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Campagna_d%27Egitto]campagna di “civilizzazione” d’Egitto[/url] del 1798. Nei tre anni trascorsi tra le sabbie roventi del deserto egiziano, Fourier acquisì una vera e propria mania dei confronti del calore. Addirittura tornato nei suoi uffici a Parigi, teneva la temperatura del riscaldamento talmente alta che i suoi amici li paragonavano alle fornaci dell’inferno.
Quando l’Accademia di Parigi decise di conferire il premio [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Acad%C3%A9mie_des_sciences_(France)#Les_Grand_Prix]Grand Prix des Mathématiques[/url] del 1812 a chi avesse svelato i misteri della propagazione del calore nella materia, Fourier decise di decuplicare i suoi sforzi nello studio del calore e riuscì in effetti a vincere il premio. Nello stesso tempo però subì parecchie critiche per le sue dimostrazioni matematiche poco rigorose e diciamo che ci rimase parecchio male.
Fu proprio studiando i grafici che davano una rappresentazione dei fenomeni fisici che Fourier cominciò a ragionare su come si creassero questi grafici o “segnali”.
Fourier cominciò a studiare come si potessero costruire onde più complicate combinando tra loro onde sinusoidali pure e arrivò ad una conclusione straordinaria: ogni funzione periodica può essere espressa come la somma di poppe seni e/o coseni di frequenze differenti, ciascuno moltiplicato per un apposito coefficiente. Questa somma prende il nome di [b]serie di Fourier[/b].
Non importa quanto complicata sia la funzione; se è periodica (e soddisfa alcune condizioni matematiche di cui solo @pazqo si può interessare), può essere rappresentata da questa somma.
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Vediamo brevemente quali sono queste condizioni: definiamo $latex x(t)$ come segnale definito in almeno un intervallo $latex [-L, L]$ simmetrico di raggio $latex L$. Supponiamo che in questo intervallo siano soddisfatte le condizioni di Dirichlet: si può dividere l’intervallo in un numero finito di sottointervalli dove $latex x(t)$ è continuo e i limiti di $latex x(t)$ per $latex t$ che tende agli estremi di tali intervalli sono finiti.
Sotto queste condizioni sono ben definite le seguenti successioni numeriche:
$latex displaystyle begin{cases} a_0 doteq frac{1}{2L}int_{-L}^L , x(t) dt , \ a_n doteq frac{1}{L}int_{-L}^L , x(t) cosfrac{n pi t}{L} dt, & n = 1, 2, dots,\ b_n doteq frac{1}{L}int_{-L}^L , x(t) sinfrac{n pi t}{L} dt, & n = 0, 1, 2, dots,end{cases}$
Si può notare che $latex b_0 = 0$ e che $latex a_0$ è il valor medio del segnale nell’intervallo.
Con queste successioni si costruisce la serie di funzioni circolari
$latex displaystyle Fx(t) doteq sum_{n=0}^{+infty} (a_n cos frac{n pi t}{L} + b_n sinfrac{n pi t}{L}) \ = a_0 + (cosfrac{pi t}{L} + b_n sinfrac{pi t}{L}) + (cosfrac{2pi t}{L} + b_n sinfrac{2pi t}{L}) + dots$
detta serie di Fourier di $latex x(t)$. I numeri $latex a_n$ e $latex b_n$ prendono il nome di coefficienti di Fourier della serie.
Si può dimostrare che, se la funzione $latex x(t)$ è continua, la serie di Fourier troncata ad un $latex n$ sufficientemente grande rappresenta abbastanza fedelmente $latex x(t)$. Questa affermazione generica può essere resa rigorosa con gli opportuni teoremi, che non sto a riportare o non la finisco più!
Se la funzine $latex x(t)$ non è continua, si presenta il [b]fenomeno di Gibbs[/b], cioè delle piccole oscillazioni, più accentuate nell’intorno delle discontinuità, per quanto grande sia $latex n$. Ne vedete un esempio qui sotto.
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A partire da questa formula Fourier riuscì a svilupparne una più generale, detta [b]trasformata di Fourier[/b], che avrebbe letteralmente cambiato il corso della storia. Ad esempio, la compressione dell’audio non potrebbe esistere senza questi teoremi: non avremmo telefonate cellulari, mp3, streaming video e tante altre cose che diamo per scontate e a cui tutti siamo abituati.
[title]La trasformata di Fourier[/title]
[latex size=”4″]displaystylemathcal{F}(xi) = int_{-infty}^{infty} f(x) e^{- 2pi i x xi},dx[/latex]
Eccola. Questa è la formula magica incisa con caratteri di fuoco nel libro degli incantesimi di tutti gli stregoni matematici degni di questo nome.
Ma che cosa significa? Cosa si cela dietro i simboli esoterici del linguaggio matematico?
La risposta è molto semplice: la [i]capacità di scomporre un segnale qualsiasi nelle sue componenti elementari[/i].
Ai tempi di Fourier questa teoria fu duramente combattuta perché, anche se oggi può sembrarlo, allora non era intuitivo pensare che delle funzioni complicatissime potessero essere rappresentate sotto la forma di una semplice somma di seni e coseni.
Fourier invece sembra un treno inarrestabile e per lui il salto dalle funzioni periodiche, espresse con la sua sommatoria, a quelle [i]non[/i] periodiche è quasi immediato: nacque così la trasformata di Fourier vera e propria, la cui utilità sia dal punto di vista teorico che pratico è nettamente maggiore.
Entrambe le rappresentazioni condividono un’importantissima caratteristica: una funzione espressa nella serie o nella trasformata di Fourier può essere completamente ricostruita attraverso un processo di inversione protonica totale, che almeno per questa volta non porterà le molecole del nostro corpo ad esplodere alla velocità della luce ;) .
Il fatto che la trasformata sia invertibile è rivoluzionario! Amazing, come direbbe Steve Jobs. Questo significa che possiamo prendere un segnale arbitrariamente complesso, applicare la nostra formula magica ed essere istantaneamente (quasi) trasportati in un universo parallelo, detto [b]dominio di Fourier[/b] o spazio delle frequenze, dove tutto è un po’ strano. Questo universo non è popolato da segnali, ma dai loro [b]spettri[/b], cioè la scomposizione nei segnali fondamentali che costituiscono quello originario.
Armati del nostro zaino protonico matematico, possiamo agire su questi spettri per modificare qualche componente o cancellarne altre.
Ad esempio, possiamo togliere le frequenze che disturbano un segnale. Immaginatevi un mondiale di calcio dove in sottofondo si sentono centinaia di fastidiosissime trombette africane. Come fare a zittirle tutte insieme? Facilissimo! Si isolano le frequenze del loro suono, si passa nel dominio di Fourier, si imposta un filtro antitrombette che cancella le suddette frequenze indesiderate e si torna indietro nel mondo normale, con una telecronaca pulita e indolore.
Le idee di Fourier vennero applicate inizialmente nel campo della propagazione del calore, come abbiamo visto prima. Grazie alla sua teoria, si risolsero per la prima volta delle equazioni differenziali formulate in modi del tutto nuovi.
[title]I tempi moderni: DFT e FFT[/title]
Nella seconda metà dello scorso secolo, a partire dal periodo teoria dell’informazione di Shannon in poi, la trasformata di Fourier ottenne nuova linfa vitale per passare da applicazioni solo teoriche all’implementazione all’interno dei calcolatori. Fu come dotare un golem di proprietà magiche, una combo letale. Negli ultimi 60 anni intere gilde industrie e numerose scuole di magia discipline accademiche hanno prosperato grazie alle idee di Fourier.
La questione fondamentale è il passaggio dai segnali ideali a quelli reali. La differenza è sostanziale: un segnale ideale è continuo e infinito, ma nella realtà i segnali sono finiti e, nel caso del computer, discretizzati. I matematici hanno quindi ideato una derivazione della trasformata classica, chiamata DFT ([url=http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_discreta_di_Fourier]Discrete Fourier Transform[/url]) che opera espressamente su segnali campionati e finiti. La seconda rivoluzione arriva quando gli informatici inventano un algoritmo [i]veloce e furioso[/i] per il calcolo della trasformata discreta, che prende il nome di FFT ([url=http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier_veloce]Fast Fourier Transform[/url]).
[title]Lo spettro 2D delle immagini[/title]
Andiamo a capire quali sono le basi che ci porteranno al laboratorio del paragrafo successivo.
La cosa più importante da capire è che un’immagine può essere considerata come una funzione, e come tale essa è composta da semplici segnali, che messi assieme ne formano uno complesso.
Cosa succede se si applica la FFT ad un’immagine? Ovviamente la si scompone nei segnali atomici che la compongono: i contorni degli oggetti e in generale le rapide transizioni di crominanza sono composte da alte frequenze, mentre gli sfondi e le zone uniformi sono le basse frequenze.
Nell’immagine dell’approfondimento qui sotto potete vedere la rappresentazione grafica dello spettro di Fourier di una semplice immagine.
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La croce chiara che viene a formarsi rappresenta l’energia delle varie frequenze. La parte centrale è quella dove si concentra la maggior parte dell’informazione, ovvero le alte frequenze.
La cosa più bella che i software ci permettono di fare è intervenire manualmente (o per casi specifici in modo automatico) sullo spettro per cancellare, ad esempio, il rumore periodico delle immagini. Il risultato, garantisco, è incredibile!
[title]Applicazione DIY: nerdata totale![/title]
Non voglio che mi crediate sulla parola. Il metodo scientifico è figo per un motivo: chiunque può mettersi, provare e replicare gli esperimenti. Vi propongo di farlo per davvero.
L’immagine nell’approfondimento qui sotto è ovviamente interpretabile come un segnale. Ha un difetto, chiamato in gergo tecnico rumore, che si presenta regolarmente. Il rumore periodico è facilmente individuabile con la trasformata di Fourier e per questo è facilmente rimovibile.
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[image]https://leganerd.com/wp-content/uploads/LEGANERD_041915.jpg[/image]
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Ok, è arrivato il momento di risvegliare i poteri magici. Salvate l’immagine e scaricate il dungeon l’ambiente di lavoro, il software gratuito e crossplatform di elaborazione di immagini [url=http://rsbweb.nih.gov/ij/]ImageJ[/url].
Per non allungare troppo l’articolo ho preparato una [url=https://leganerd.com/docs/rimuovere-il-rumore-periodico.zip]breve guida[/url] in pdf che il capo ha gentilmente uploadato sui nostri server. [b][url=https://leganerd.com/docs/rimuovere-il-rumore-periodico.zip]Scaricatela[/url], provatela e fatemi sapere nei commenti qual è stato il vostro risultato[/b], ok???
Vignetta originale su [url=http://xkcd.com/26]XKCD[/url].
Grazie a @sabas per la vignetta e l’idea del post!