La Democrazia Impossibile: Arrow, Borda e Condorcet #LegaNerd

Visto che l’economia vi ha un po’ stufato oggi volevo parlarvi di politica!
Ma visto che sulla Lega non si parla di politica… aggirerò il problema parlando di matematica e ti pareva.
Partimo quindi dall’ABC della matematica politica: il teorema di Arrow, la votazione di Borda e del paradosso di Condorcet. (se volete la S di Shapley è qui)
Una piccola guida prima di iniziare, con Borda vedremo come, votado contro i propri interessi relativi, si può far prevalere il proprio interesse assoluto; con Condorcet analizzeremo perchè scelte reiterate o sottoinsemi di scelte influiscano sul risulato finale.
Infine con Arrow amplieremo il discorso mettendo insieme le 2 cose e osservando come sia possibile manipolare un sistema di voto democratico agendo con queste due leve.

La Votazione di Borda

Iniziamo dalla votazione di Borda.
Borda era un francese vissuto alla fine del 18° secolo, nel 1770 teorizzò la possibilità per i votanti di ottenere il risultato desiderato votando in parte contro i propri interessi.
Un bel esempio di teoria dei giochi ante litteram.
Vediamo il metodo da lui proposto nel dettaglio.
3 froloconi (A B e C) sono chiamati a dare una preferenza su 4 scelte politiche X, Y, Z, W.
Ognuno può dare un punteggio a una di queste scelte, la somma dei punteggi dichiarerà la scelta vincitrice.
Ecco come si presentano le cose:

Guardando la tabella, così a prima vista vincerebbe X, ma in realtà ogni votante potrebbe alterare la sua votazione al fine di far prevalere la sua scelta semplicemente modificando l’espressione della propria preferenza.
Ad esempio B (che preferisce di gran lunga W) dovrebbe dichiarare in fase di voto di preferire le scelte secondo questo punteggio 1 3 2 4, in questo modo trionferà W, sebbene in realtà B preferisca X a Y in fase di voto punterà Y in maniera tale da assicurarsi la vittoria di W.

La votazione di Borda in realtà presuppone una serie di condizioni difficilmente realizzabili in un contesto reale, però ha il pregio di evidenziare un concetto importante: a volte si può raggiungere un risultato migliore votando non in base ai nostri interessi ma agli interessi percepiti degli altri.
Un idea che ci servirà dopo.

Paradosso di Condorcet

Veniamo ora a Condorcet.
Il paradosso di Condorcet fu enunciato anche lui nel ‘700 da un’altro francese.
Condorcet pose l’accento su un fattore interessante (che sta alla base del teorema di Arrow che arriverà solo 200 anni più tardi), ossia le scelte politiche possono risentire del fatto che la votazione venga ripetuta.
Ma diamo la parola direttamente a lui:

Cosa vediamo nella tabella?
Di nuovo i tre froloconi con le loro preferenze in fatto di partiti.
Questa volta viene chiesto loro di ordinarli secondo preferenza, così che, se un partito fosse escluso, il suo elettore voterebbe per la seconda scelta e così via (ad esempio il cittadino 1 voterebbe A, ma in mancanza di A voterebbe B).
Come si vede se votassero tutti assieme i tre partiti andrebbero alla pari.
Condorcet però dice: ipotizziamo che ci siano 2 tornate di votazioni e che poi i due partiti con più preferenze si sfidino nel rush finale (Ballottaggio? L’ho sentito dire solo io?).

Ipotizziamo che nella prima tornata il partito A sia killato, chi emergerebbe?
Emergerebbe B rispetto a C con 2 voti a 1.
Ipotizziamo ora sia killato B in prima battuta, chi vince?
Bhe il popolino affermerebbe che, senza ombra di dubbio C sia la scelta migliore (2 voti a 1)!
Ma se venisse eliminato C?
Devo proprio dirvi chi vincerebbe?
Ebbene incredibile, ora è A il sistema migliore.

Condorcet non si rese pienamente conto di quello che aveva scoperto (dopotutto era un nobilotto “e amme che cazzo me ne frega amme? io c’ho dio che mi ha dato il diritto a regnare”), ma puntava più che altro il dito sull’irrazionalità della cosa, ossia che B sia preferito a C, C sia preferito a A e poi A sia preferito a B (mentre dovrebbe essere che B > A visto che B > C e C > A).


Teorema di Arrow: Come funziona.

Forti di questi due presupposti (posso votare contro i miei interessi per avere un profitto maggiore e votazioni reiterate possono alterare il risultato) passiamo quindi all’artiglieria pesante: alzi la mano chi non ha mai sentito parlare del teorema di Arrow.
Immagino pochissimi, è il classico discorso che viene fuori quando si parla di politica al pub (o di skyrim a volte…).
Vediamo quindi di capirlo un po’ meglio.

Il teorema di Arrow fu enunciato nel lontano 1951 da tale Kenneth Arrow (di sicuro avrete già sentito parlare di lui durante il premio Nobel per l’economia nel 1972 (cit.)) e asserisce più o meno questo: è impossibile individuare l’interesse di un gruppo attraverso le preferenze dei suoi membri.

Wow e quindi?
Bhe quindi, ad esempio, in un sistema democratico, non si può capire quali siano le preferenze dei votanti guardando i loro voti.

Come è arrivato Arrow a questa considerazione esplosiva?
E’ un teorema, partiamo quindi dalle premesse:

1) Dominio universale e illimitato: significa che ognuno può votare quello che gli pare e piace e non ci sono limitazioni a priori sulla scelta.
2) Principio di Pareto debole: questo significa solamente che se gli individui preferiscono x a y allora l’opzione x è meglio dell’opzione y a livello sociale
3) Assenza di dittatori: non c’è qualcuno che possa indirizzare la scelta nonostante le scelte dei votanti
4) Indipendenza dalle alternative irrilevanti: significa che nella scelta fra due alternative “x” e “y”, sono rilevanti solo “x” e “y”, mentre non si prendono in considerazione la preferenza per altre coppie di alternative (ad esempio “x” e “z”).

In realtà a parte la storia del dittatore, il teorema funziona bene anche rilassando alcune ipotesi.
Detto da dove partiamo vediamo a dove arriviamo.

Richiamiamo i nostri 3 froloconi (A, B e C), questa volta possono scegliere tra 3 sistemi (X, Y e Z).
Ogni elettore ordina le sue scelte in base alle sue preferenze (un po’ come con Condorcet) vediamole qui sotto (c’è da dire che sti tre stronzi non sono mai d’accordo su nulla…):

Osserviamo la tabella.
Intanto possiamo vedere come le scelte dei tre elettori siano transitive, se io preferisco X a Y e Y a Z allora preferisco X a Z (e grazie di niente se no sarei anche un po’ cretino qualunquista).
Quindi possiamo facilmente vedere come, se si votasse in una tornata unica, le tre scelte sarebbero tutte alla pari.

Ma la scoperta di Arrow è la seguente, se non si votano tutte le opzioni insieme, l’opzione vincente non è determinata dal volere degli elettori ma solo in base all’ordine delle coppie tra cui si è chiamati a decidere ossia:

Se si vota prima tra X e Y (vince X) e poi tra X e Z emerge come scelta finale Z, infatti alla prima tornata passa X (2 voti a 1) nella seconda passa Z (2 voti a 1).
Se si vota prima tra X e Z (vince Z) e poi tra Z e Y emerge come scelta finale Y, infatti alla prima tornata passa Z (2 voti a 1) nella seconda passa Y (2 voti a 1).
Infine se si vota prima tra Y e Z (vince Y) e poi tra Y e X emerge come scelta finale X, infatti alla prima tornata passa Y (2 voti a 1) nella seconda passa X (2 voti a 1).
Che merda fregatura!
Quindi Arrow dimostra che, a parità di scelte individuali, il risultato finale può essere modificato radicalmente in base all’ordine delle opzioni proposte.

Teorema di Arrow: Implicazioni

Una delle implicazioni maggiori del teorema di Arrow è la possibilità di distorcere il risultato politico votando in prima battuta contro il proprio interesse (come profetizzava Borda).
Tiriamo fuori la buona vecchia Teoria dei Giochi e proviamo un caso reale: elezioni USA 2012.

Agli elettori è chiesto di scegliere tra una coppia di sfidanti repubblicani e quindi tra il vincente e l’uscente presidente democratico.
Ipotizziamo di chiamare X “Santorum” Y “Romney” e Z “Obama”.
L’elettore A è il classico redneck ignorante e fascistoide: vuole Santorum perchè così “dio impedirà alle donne di abortire e ai gay di andare in paradiso yeeeeeah”.
L’elettore B è il repubblicano moderato “voglio meno tasse! messicani a casa loro! USA! USA! USA!”
L’elettore C è il democratico moderato “Sanità per tutti, redistribuzione dei redditi, pari opportunità per le minoranze”.

Arrivano le primarie repubblicane, è chiesto di scegliere tra X e Y, ovviamente A vota X e B vota Y.
Tutto bene… ma che fa C? Trolla pesantemente e vota X.
Questa cosa sembrerebbe non aver senso ma non è così.
C sa bene che poi Y cederebbe in una sfida con Z, perchè B preferisce comunque un negro dotato di buon senso (Z > X) a un invasato borderline con la possessione religiosa.
Ed ecco che quindi vota X assicurandosi la vittoria di Z.

Il vantaggio di questa scelta è che è a costo 0.
Nel senso, se io sono con il gruppo vincente (in questo caso i democratici) mi conviene votare il peggio del peggio nelle primarie avversarie, questo mi da nel migliore dei casi un vantaggio (se esce il candidato meno presentabile ho più probabilità che nella seconda tornata vinca il mio candidato) e nel peggiore dei casi nessun danno (anche se nonostante il mio voto vincesse il migliore degli avversari, questo non influirebbe negativamente il mio successivo voto, in quanto io comunque voterei democratico e gli altri repubblicano).

Di conseguenza mi trovo nella situazione in cui ben che vada ho distorto il sistema a mio favore, mal che vada avremo un’elezione corretta come dovrebbe avvenire già di suo.

Va da se che in una situazione del genere non serve la teoria dei giochi per capire a chi andrà il voto di C…

Questo ragionamento si può declinare in qualunque ambito in cui le scelte vengono analizzate in sotto-insiemi, Arrow ci dice che la decisione finale è influenzata dall’ordine di scelta e che quindi è possibile distorcere il sistema, la teoria dei giochi che è conveniente farlo.

Conclusioni

Il Teorema di Arrow, il paradosso di Condorcet e la votazione di Borda ci danno un importante lezione: i francesi cercano sempre il modo di buttartelo nel culo i sistemi di voto democratici possono essere distorti e il risultato finale può non rispecchiare i desideri dei votanti.

Mentre Condorcet amava il paradosso e Borda in realtà si basava su delle ipotesi difficilmente realizzabili (la perfetta conoscenza delle preferenze di tutti e il fatto che io solo possa cambiare il mio voto), Arrow è molto più lato e per questo motivo molto più applicabile alla realtà, superando ad esempio i limiti di Borda di perfetta conoscenza soprattutto se le scelte sono poche (uno dei limiti, a mio avviso molto forti, del bipolarismo).

Ci sono stati durante gli anni ’70 una serie di tentativi di superare il teorema di Arrow (Rawls, Nozick e da ultimo Sen), la maggior parte di essi puntano alla gestione del risultato DOPO il voto.
Ossia, visto che sappiamo che i voto si può distorcere, un sistema democratico deve comunque tener conto dell’utilità sociale delle scelte prese dagli elettori (Nozick).
Stringendo: ogni scelta deve garantire comunque che il massimo livello di libertà di coloro che non l’hanno condivisa sia comunque rispettato o per dirla con un aforisma, il livello di una democrazia si misura dal modo in cui tratta coloro che ne sono esclusi.

Churchill affermava che la democrazia fosse la peggior forma di governo al di fuori di tutte quelle già tentate precedentemente, e, nonostante tutto, io sono convinto che avesse ragione (o meglio, sono per una monarchia illuminata ma sappiamo bene che tutti vogliono fare i monarchi e nessuno l’illuminato…), il che però non esclude che essa sia passabile di distorsioni, distorsioni che si devono conoscere se si vogliono evitare.

Di qui in poi però il discorso diventa etico e non più matematico, quanto è giusto sfruttare le mancanze di un sistema? Bisognerebbe essere puniti per questo? (vi stupireste di quanto sia facile sfruttare il teorema di Arrow a proprio vantaggio quando c’è da decidere su qualcosa e si è in minoranza relativa…).

Ma queste obiezioni e le relative risposte le lascio ai filosofi e a chi ne sa più di me :)

Sono appisolato nei commenti ma svegliatemi pure, soprattutto se ci sono parti non chiare o se c’è qualcuno che vuole darmi il suo parere al di la della matematica.

Qui la seconda puntata.

Nicholas | Nè

Nicholas | Nè

Sono qui solo per trollare. E a volte per scrivere di economia, storia o cazzate (spesso tutto assieme).
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martedì 27 marzo 2012 - 14:01
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