Avete presente quando dite di voler andare in vacanza in un paese arabo, e immancabilmente salta fuori qualcuno che dice “Mi raccomando, preparati a contrattare su tutto, perché laggiù è così, si contratta sempre, mica come da noi!”?

A me succede di continuo, infatti poi vado in vacanza su Steam.

In ogni caso la frase non è del tutto vera.

O meglio, è vero che in alcune culture il contrattare sia più accettato socialmente anche a livelli molto bassi dell’attività economica, ma in realtà in ogni società umana si contratta.

Gli esseri umani contrattano, sempre.

Alcuni lo fanno alla bancarella, altri lo fanno con pool di avvocati e ministri, ma il succo non cambia, in ogni contrattazione gli elementi sono sempre gli stessi.

Se gli elementi sono sempre gli stessi allora si potrebbero modellizzare e trovare una soluzione ottimale così che tutti siano felici!

…ha pensato qualcuno vincendo l’ambito premio di “Fede ingenua nell’umanità”.

Perché in effetti esiste una soluzione ottimale ma, come ben sappiamo, le cose ottime non succedono mai in economia, perché le persone sono cattive.

E in questa novella puntata di Ecco a cosa giocano da piccoli gli economisti invece che giocare al dottore Tutto quello che non volevo sapere sui giuochi parleremo di come questo ottimo esiste, di quale esso sia, di come trovarlo e del perché venga ignorato bellamente.

 

 

 

Le Regole del Gioco

 

Iniziamo a stabilire le regole del gioco.

Iniziamo a stabilire le regole del gioco. La prima regola della contrattazione efficiente è: mai parlare della contrattazione efficiente.

Il gioco si gioca in due.

Esiste un insieme F (feasibility set) che contiene l’insieme delle coppie di risultati (payoff) per ogni giocatore, ossia è l’insieme delle soluzioni possibili.

Ad esempio se Alice e Bob (perché nella teoria dei giochi sono sempre loro due) devono dividersi 10 euro alcune delle coppie di payoff possibili sono (Alice 3, Bob 4); (Alice 4, Bob 6) e così via.

La soluzione (Alice 6, Bob 5) è invece esclusa perché non esiste che Alice prenda più soldi di Bob perché la somma fa 11.

Esiste di per contro una soluzione D (disagreement point) che contiene la coppia di payoff dei due giocatori nel caso l’affare non andasse in porto.

Nell’esempio precedente la soluzione D contiene (0, 0), ed è colpa di Alice.

Prima di iniziare a giocare controllate che nel sacchetto di soluzioni F ci sia almeno una soluzione che sia migliore di D, altrimenti non giocate (i giocatori giocano solo se esiste almeno un payoff migliore di “non giocare” se no, appunto, non giocano).

Ogni giocatore inoltre porta da casa la sua Utility Function che gli permette di ordinare le coppie di risultati contenute in F secondo la propria preferenza. La utility function è strettamente personale e può essere ovviamente diversa per ciascuno dei due giocatori.

L’utility function è una roba dall’aspetto molto complicato ma non fatevi spaventare, ogni volta che si cerca di modellare una cosa considerata semplice per una persona normale, gli economisti ci buttano dentro di tutto.

In pratica sta a dire che le persone hanno delle preferenze e sono in grado di ordinare le soluzioni in base alle loro preferenze.

Nel nostro esempio, di norma Bob e Alice, se non sono grillini o hippie, preferiranno le soluzioni che gli danno più soldi rispetto a quelle che gliene danno meno, ma non è obbligatorio.

Se il giocatore non ha una utility function può prenderne una dalla scatola.

Inoltre avrete bisogno di fogli, matite e alcuni d8.

 

 

 

Il Segno dei Quattro (Assiomi)

 

Come vedete le condizioni per giocare non sono stringenti e si possono riassumere in:

  1. due giocatori
  2. almeno una soluzione migliore del “non giocare”
  3. entrambi i giocatori sanno stabilire una lista di preferenze tra i risultati
  4. quattro

Sotto questa categoria ricadono quasi tutte le contrattazioni del mondo.

Partendo da queste considerazioni Nash stabilì quattro assiomi che vanno applicati al problema e quindi dimostrò che questi assiomi definiscono un’unica soluzione possibile per il problema dato che è anche la soluzione ottima.

Vediamo quindi insieme i 4 assiomi.

 

 

1. Invarianza rispetto alle
trasformazioni affini e positive

Questo assioma dal nome complicato significa che l’ordine delle coppie di payoff di F, ordinato secondo la funzione di utilità non viene modificato se modifico la rappresentazione della funzione di utilità.

L’assioma serve principalmente a dire che le coppie di payoff di F rimangono ordinate nello stesso modo anche se la rappresentazione della funzione di utilità cambia.

Sembra un concetto molto complicato ma è in realtà abbastanza semplice, prendiamo l’esempio di prima, diciamo che Bob preferisca la soluzione (7,3) alla soluzione (6,4) cambierebbe l’ordine di preferenza se io convertissi i valori da euri a yen?

E se li convertissi da yen a X dove X è una qualsiasi valuta?

E se modificassi le soluzioni aggiungendo X?

Bob preferirà ancora (7 + x, 3 + x) a (6 + x, 4 + x)?

La risposta che tutti ci diamo è si.

L’assioma ci sta dicendo che la funzione di utilità “preferisco avere più soldi” può essere modellizzata in diversi modi a patto che mantenga valido il principio “preferisco avere più soldi” e, se quel principio rimane valido, come lo rappresento non modifica l’ordine delle scelte.

 

 

2. Ottimi Paretiani

Questi ormai dovremmo conoscerli, significa che ogni soluzione ammissibile deve essere un ottimo paretiano, ossia un punto che non possa essere modificato senza peggiorare la condizione di uno dei due giocatori.

Quindi la soluzione (6, 3) non è ammissibile in quanto ho ancora 1 euro da distribuire e io posso migliorare la soluzione senza peggiorare la condizione di nessuno, ad esempio facendola diventare (7, 3) .

Mi spiace Alice.

 

 

3. Indipendenza dalle
Alternative Irrilevanti

Questo assioma postula che la soluzione preferita in un insieme sia anche la soluzione preferita di un sottoinsieme.

Se nell’insieme di soluzioni: (9, 1) (8, 2) (6, 4) (3, 7) la preferita è (9,1) allora sarà anche la soluzione preferita nell’insieme (9,1) (8,2) (6,4).

 

 

4. Simmetria

Questo è l’assioma più debole, infatti si può anche ignorare e sostituire con una variabile che rappresenti la “forza contrattuale”.

In ogni caso, l’assioma dice che se i due giocatori hanno la stessa funzione di utilità, lo stesso disagreement point e l’insieme delle soluzioni F è simmetrico allora arriveranno alla coppia di soluzioni che contiene valori uguali.

Al solito, un esempio spiega meglio.

Se Bob e Alice vogliono entrambi più soldi, la somma da dividere è 10 euri e le coppie di risultati vanno da (10, 0) a (0, 10) e entrambi beccano 0 se non si mettono d’accordo allora la soluzione a cui arriveranno è il punto (5,5).

L’assioma di simmetria è chiamato anche assioma di indistinguibilità dei giocatori, se i due giocatori sono identici allora i loro payoff saranno uguali.

Se i due giocatori sono diversi invece verranno distinti da una differente funzione di utilità e quindi potranno avere payoff diversi.

 

 

 

Efficent Bargaining

 

Bene, partendo da questi quattro assiomi Nash dimostrò che, se vengono tutti applicati, esiste una sola soluzione che massimizza i payoff rispetto al disagreement point.

Ossia

 

[latex s=4]max( u_1 \cdot x_1 – u_1 \cdot d_1 ) \cdot ( u_2 \cdot x_2 – u_2 \cdot d_2 )[/latex]

 

ammette una sola coppia di payoff [latex s=4](x^*_1, x^*_2)[/latex] tale per cui

 

[latex s=4](x^*_1 – d_1) \cdot (x^*_2 – d_2) \ge (x_1 – d_1) \cdot (x_2 – d_2)[/latex]

 

qualunque sia la coppia [latex s=4] (x_1 , x_2)[/latex] scelta.

 

Come ha fatto?

Beh in realtà è una cosa molto semplice (no, non è vero, è abbastanza complessa, in ogni caso se vi interessa la dimostrazione la trovate qui ).

Se non si usa l’assioma di simmetria si può trovare un insieme di soluzioni generalizzate di Nash uniche rispetto al parametro a (di solito indicato come potere contrattuale e compreso tra 0<a<1)

 

[latex s=4]{(x^*_1 – d_1)}^a \cdot {(x^*_2 – d_2)}^{a-1} \ge {(x_1 – d_1)}^a \cdot {(x_2 – d_2)}^{a-1}[/latex]

 

Se il potere contrattuale è ½ quindi identico per entrambi si torna alla soluzione classica.

 

 

 

Conclusioni

 

Le condizioni per applicare la contrattazione efficiente sono abbastanza semplici e fanno ricadere al loro interno quasi tutti i problemi contrattuali esistenti.

Inoltre Nash dimostra non solo che un ottimo esiste, ma anche che è l’unico, quindi le due parti sanno a priori che esiste una sola soluzione ottima e che hanno i mezzi per individuarla ottenendo entrambe il massimo profitto.

Quindi quanto è usato questo sistema nella contrattazione reale?

Se avete detto “molto” avete vinto il premio “Fede ingenua nell’umanità 2016”… e se avete detto “poco” siete arrivati secondi, provate l’anno prossimo.

In realtà, per quanto matematicamente interessante, la contrattazione efficiente non ha un utilizzo pratico nella vita vera.

Ci sono diverse condizioni inapplicabili, ad esempio entrambe le parti dovrebbero conoscere l’intero insieme F, il punto D e le funzioni di utilità di entrambi, se uno dei due player sbaglia un piccolo dettaglio nella sua funzione di utilità i risultati possono cambiare drasticamente.

Ad esempio alcuni economisti hanno studiato la contrattazione efficiente sotto la condizione di avversione al rischio, in queste situazioni la coppia di risultati ottimi è sfavorevole a chi è avverso al rischio rispetto a chi è neutrale al rischio, che potrebbe sembrare un po’ ingiusto visto che alla fine si tratta di preferenze personali.

Ma il problema maggiore è che entrambi i player dovrebbero conoscere le intenzioni dell’altro o, detta in altri termini, non dovrebbero mentire.

Se uno mentisse sull’ordine delle sue preferenze potrebbe distorcere il gioco (magari può sembrare una fesseria mentire sulle nostre preferenze ma, prendendo l’esempio precedente, se io fossi avverso al rischio dichiarerei di essere neutrale al rischio per avere più soldi).

Non che la gente menta di proposito ma spesso abbiamo una rappresentazione falsata di quanto valgano le cose per noi.

E poi si, la gente mente di proposito.

In pratica la contrattazione efficiente sta li a dirci che l’ottimo esiste ma che non ce lo meritiamo perché siamo cattivi.

Che è un po’ il leitmotiv della teoria dei giochi.