È possibile modificare la probabilità dei lanci di una normale moneta? La statistica risponde negativamente, ma il gioco ideato da Walter Penney e pubblicato nel 1969 sul Journal of Recreational Mathematics vi permetterà di dare questa impressione a parenti e amici.
Ogni moneta ha due facce. Per questo la probabilità di ottenere testa con il lancio di una moneta è 1/2. La probabilità di ottenere croce è, allo stesso modo, 1/2.
Immaginate di lanciare la stessa moneta tre volte consecutive. La probabilità di ottenere una sequenza come testa, testa, croce è:
1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
Le combinazioni che è possibile ottenere con tre lanci consecutivi di una moneta sono 8. Quindi la probabilità di ottenere una qualsiasi di queste combinazioni è 1/8.
Il Gioco di Penney permette di simulare una variazione nella probabilità dei lanci di una moneta. Ecco come funziona.
Sedetevi ad un tavolo con il vostro avversario e chiedetegli di scegliere una qualsiasi delle 8 combinazioni di tre lanci consecutivi.
Spiegategli che la probabilità che si ottenga una combinazione di tre lanci consecutivi con la sua sequenza è uguale a quella di qualsiasi altra sequenza di tre lanci. Se serve, mostrategli la tabella con gli 8 risultati possibili.
Le regole del gioco sono semplici. L’avversario esegue una lunga sequenza di lanci usando una sola moneta. Quando tre lanci consecutivi risultano nella sequenza testa, testa, croce, l’avversario segna un punto. Quando, con tre lanci consecutivi, si ottiene croce, testa, testa, siete voi a segnare il punto.
Giocando per un tempo sufficientemente lungo, noterete che ogni volta che il vostro avversario fa punto, voi ne avrete accumulati circa 3. Ma come è possibile? Per capirlo immaginiamoci di eseguire una sequenza di lanci consecutivi.
Supponiamo che l’avversario abbia un colpo di fortuna. I primi tre lanci risultano esattamente nella sua combinazione. L’avversario segna il primo punto.
Ora lanciate la moneta una quarta volta. Risulta croce.
L’avversario apre la sua sequenza con due teste. Per fare punto, quindi, aspetta che nella sequenza di lanci escano due teste. Se però il quinto e il sesto lancio danno come risultato due teste, viene completata la vostra combinazione (croce, testa, testa), e voi segnate punto prima dell’avversario.
Immaginiamo una situazione diversa. Con il quarto lancio si ottiene croce, con il quinto testa, e con il sesto croce.
La situazione non cambia. Di nuovo l’avversario ha bisogno di due teste consecutive per aprire la sua sequenza. Ma se il settimo e l’ottavo lancio danno due teste, voi chiudete la vostra sequenza prima che l’avversario abbia aperto la sua.
Quindi se esce croce all’inizio del gioco, o subito dopo una sequenza vincente, il punto successivo sarà certamente a vostro favore.
Questo è dovuto al fatto che la sequenza dell’avversario si apre con due teste consecutive, ovvero con gli stessi due lanci che chiudono la vostra sequenza.
La vostra sequenza, per così dire, “taglia” quella dell’avversario, concludendosi dove comincia la sua.
L’avversario fa punto solo se dopo una sequenza vincente escono due teste consecutive. Voi fate punto quando esce una sola croce dopo una sequenza vincente. È per questo che la probabilità che voi facciate punto è maggiore rispetto a quella dell’avversario.
La Combinazione Vincente
In questa tabella sono elencate le otto combinazioni di tre lanci consecutivi che l’avversario può scegliere, le otto combinazioni che battono quella scelta dell’avversario e la probabilità che la combinazione vincente venga completata prima di quella dell’avversario.
Esiste una semplice tecnica che vi permette di ricavare la combinazione vincente senza dover ricordare questa tabella.
- La prima moneta della combinazione vincente è l’opposto della seconda moneta dello spettatore.
- La seconda e la terza moneta della sequenza vincente sono rispettivamente la prima e la seconda moneta della sequenza dell’avversario.
- Nel nostro esempio la seconda moneta dello spettatore è testa. La prima moneta della sequenza vincente è croce.
- La seconda moneta della sequenza vincente è uguale alla prima moneta dello spettatore. Quindi testa.
- La terza moneta della sequenza vincente è uguale alla seconda moneta dello spettatore. Quindi testa.
La vostra sequenza e quella dell’avversario risultano, mediamente, con la stessa frequenza. Questo, però, è vero solo per tre lanci consecutivi.
In una lunga sequenza di lanci, come in quella prevista dal Gioco di Penney, avete la possibilità di “tagliare” la sequenza dell’avversario e fare punto con maggiore frequenza rispetto a lui.
Il risultato è un effetto stupefacente.
Il Gioco di Penney convincerà il vostro avversario che siete in grado di piegare la statistica a vostro favore (o, se preferite, a suo sfavore).
Il Gioco di Penney come Effetto Magico
Benché sia qui descritto come una semplice curiosità da presentare ad un amico, Il Gioco di Penney ha il potenziale per essere presentato come un vero effetto magico.
È quello in cui è riuscito Derren Brown in un episodio della serie televisiva The Events.
Brown fa sedere due volontari agli estremi opposti di un tavolo. Il primo volontario sceglie una combinazione di tre lanci. Brown sceglie la combinazione per il secondo volontario in modo che questa possa “tagliare” quella del primo volontario.
Alle spalle del secondo volontario c’è un gruppo di perso- ne che tifa per la sua vittoria.
Il risultato è sorprendente. Il tifo sembra modificare il risultato dei lanci della moneta, facendo segnare molti più punti al secondo volontario.
Possibile che il tifo possa influire su un evento che dovrebbe essere assolutamente casuale? Possibile che la volontà di un gruppo di persone possa cambiare il risultato dei lanci di una moneta?
No, è semplicemente Il Gioco di Penney.
- Penney’s game (wikipedia.org)
- Princìpi Matematici nell’Illusionismo (amazon.it)
