La Magic(a) Ipergeometrica

La matematica è una brutta bestia. Tipo un 6/6 volare, tocco letale, travolgere, annientatore 4.

Quando si parla di giochi, la matematica è fondamentale. Se si parla di giochi di carte dove c’è di mezzo la “fortuna”, la questione diventa vitale. I giocatori di Magic sanno benissimo quanto sia importante la curva del mana, ma quanti di questi sono capaci di fare i conti con il calcolo delle probabilità?

Nel contesto di Magic: the Gathering la statistica è indispensabile, sia che si stiano valutando i match-up dei tornei, sia che si stia facendo deckbuilding. Questo articolo vuole affrontare nel modo più semplice possibile il calcolo di alcuni fattori importantissimi nel gioco, come ad esempio le probabilità di pescare determinate carte nella mano iniziale.

Il calcolo combinatorio

Iniziamo dall’abc. It’s a warm summer evening in ancient Greece… (cit.)

Secondo la definizione classica, la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili..

Capirete quindi che una cosa molto importante da fare è imparare a contare i casi, attività che in gergo viene chiamata calcolo combinatorio. Cominciamo quindi introducendo alcuni concetti base come le permutazioni e le combinazioni.

Iniziamo parlando del fattoriale. Il fattoriale di una variabile $latex n$, indicato con $latex n!$, si calcola moltiplicando tutti i numeri da 1 fino a $latex n$. Ad esempio, $latex 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$. Il fattoriale è utile perché ci permette di contare in quanti modi possiamo permutare $latex n$ oggetti. Ad esempio, se abbiamo 5 carte numerate da 1 a 5, queste possono essere ordinate in 120 modi differenti.

Il secondo concetto da introdurre è quello delle disposizioni, che sono una digievoluzione delle permutazioni. Se dobbiamo contare in quanti modi possiamo disporre, ad esempio, 3 oggetti presi da un insieme di 5 il conto sarà $latex 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$. In altre parole, abbiamo 5 modi di scegliere il primo oggetto, 4 modi per il secondo e 3 per il terzo. In generale, se vogliamo contare i modi di disporre $latex k$ oggetti da un insieme di $latex n$ oggetti, vale l’equazione

[latex size=2] P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}[/latex]

Passiamo all’ultimo argomento, ovvero le combinazioni. Le combinazioni contano in quanti modi possono essere presi $latex k$ oggetti da un insieme $latex n$ senza però tenere conto della disposizione di questi elementi.
Facciamo un esempio chiarificante. Supponiamo di avere a disposizione 3 donne, Megan, Monica e Mya (cit.). Quanti modi ho di farmene 2 contemporaneamente? Ovviamente 3, Megan-Monica, Mega-Mya e Monica-Mya. Come si può notare, l’ordine con cui me le faccio non ha importanza.
Tutto questo, tradotto in formule, diventa

[latex size=2]\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}[/latex]

Questo discorso ha molto più senso (forse) nel contesto di Magic (e di qualunque altro gioco di carte). La combinatoria ci fornisce informazioni su quanti modi abbiamo di pescare la mano iniziale di 7 carte da un insieme di 60 e, ovviamente, nella mano inizia l’ordine con cui prendiamo le carte non conta!

Distribuzione Ipergeometrica

L’ultimo concetto da introdurre è quello di distribuzione ipergeometrica. Questa valuta la probabilità di ottenere $latex x$ successi in $latex p$ pescate senza reinserimento da un insieme disomogeneo di oggetti. Senza entrare nel dettaglio matematico di come si arriva alla formula finale, vediamo qual’è l’equazione e a cosa ci serve in Magic!

[latex size=2]P(x) = \frac{\binom{c}{x}\binom{t-c}{p-x}}{\binom{t}{d}}[/latex]

dove:
x = numero di carte che vogliamo pesacare di cui stiamo calcolando la probabilità;
p = numero di carte che si pescano;
c = numero totale di carte che vogliamo pescare contenute nel mazzo;
t = numero totale di carte nel mazzo.

Questa equazione è incredibilmente utile e fortunatamente questo calcolo non deve necessariamente essere fatto a mano. Molti fogli di calcolo elettronici, come Excel Google Documents implementano la distribuzione ipergeometrica tra le funzioni. E ci servirà per un sacco di applicazioni, vediamone qualcuna.

Giochiamo con la Magic-Ipergeometrica

Supponiamo di essere ad un torneo legacy e di giocare contro un Reanimator e vogliamo calcolare la probabilità di avere almeno uno dei nostri fantastici 4x Leyline del Nulla nella mano iniziale.
Assumendo di giocarne 4 in un mazzo da 60, utilizziamo la formula HYPGEOMDIST(0,7,4,60).

In questo modo calcoliamo la probabilità di avere esattamente 0 Leyline nella mano iniziale. Se sottraiamo questo valore a 1, troveremo la probabilità di averne almeno uno. Diminuendo il valore della pescata e facendolo passare da 7 fino a 1, otteniamo le probabilità in caso di mullingan.

Interessante! Abbiamo scoperto che mulligando fino a 5 passiamo da circa il 40% di probabilità di avere almeno un Leyline al 30% e che da qui in poi le chance di averne droppano velocemente! Questo tipo di applicazione è veramente semplice da realizzare e dovrebbe essere studiata da ogni pro-nerd-player prima di un torneo.

Una seconda importante applicazione riguarda le terre. Ah, quante volte ho sentito giocatori, anche bravi, lamentarsi che perdono per mana flood o mana screw (rispettivamente avere troppe o troppe poche terre). Bene, è arrivato il momento di darci un taglio.

La mia applicazione preferita per l’ipergeometrica è la classica “one-land hand”. Ho una terra soltanto di prima mano. Che faccio, tengo? Qual’è la probabilità di pescare almeno una terra nei prossimi turni? Calcoliamolo! Impostiamo

x = 0 (ovvero calcoliamo nuovamente la probabilità di pescare 0 carte per poi sottrarlo a 1, l’evento certo)
p = 1, 2, 3, 4, …
c = il numero di terre che ho nel mazzo meno 1 (quella che ho pescato di prima mano)
t = 60 meno il numero di carte in mano (in questo caso, 53)

Cazzo questo è fenomenale! La prima conclusione da queste statistiche è che la decisione di tenere o meno una mano con una terra dipende se si inizia la partita o se si parte secondi pescando una carta in più. Se si inizia, si giocherà la terra di turno pescata nella mano iniziale e si avrà circa il 47% di probabilità di pescare e giocare un’altra terra nel secondo turno.

Se invece si inizia secondi, si hanno due pescate per arrivare alla seconda terra e la probabilità di droppare la seconda al secondo turno schizza ad un inaspettato 73%! Applicando la distribuzione ipergeometrica abbiamo dimostrato che è meglio tenere una mano da 1 terra solo se non si gioca per primi!

L’ultima applicazione che andiamo a vedere in questo articolo è un po’ più complessa, ma mostrerà quanto possa essere potente e flessibile il calcolo delle probabilità e in generale la matematica (in barba a quelli che dicono che nella vita la matematica non serve!). Creiamo un piccolo caso di studio. Supponiamo di giocare ad un torneo Modern con un controllone UW contro, ad esempio, un White Weenie.

In mano ho una Molla Mentale e una terra. Nel campo di battaglia ho pochi paranti e un attacco massivo del mio avversario il prossimo turno sarà sicuramente letale. Mi serve un Colpo Militare, una Ira di Dio o Gideon Jura per salvarmi il culo dalla disfatta del prossimo turno. Giocata la terra del turno, posso produrre un totale di 11 mana. Mi restano 40 carte nel mazzo, di cui 3 Ira di Dio, 3 Colpo Militare e 2 Gideon Jura.

La domanda è, quanto devo pagare Molla Mentale per massimizzare la probabilità di non morire gonfio il prossimo turno? Let’s do the math!

Ho tre opzioni per la Molla Mentale:

1 Pesco due carte (pagando 2UU) e rimango con 7 mana open. In questo modo sarò in grado di giocare una qualsiasi delle 8 spell che cerco se dovessi pescarla.

2 Pesco 4 carte (pagando 4UU) e resto con 5 mana open. In questo modo posso giocare sia Ira di Dio che Gideon Jura.

3 Pesco 5 carte (pagando 5UU) e resto con 4 mana open. In questo modo posso giocare solo Ira di Dio.

Analizziamole tutte e 3.

I calcoli indicano che la cosa migliore da fare è giocare Molla Mentale pagando X = 4, che mi da circa il 43% di chance di pescare qualcosa qualcosa di utile. Mediamente, recitando un passo della Bibbia a scelta, farete pulizia del campo giocando un’Ira di Dio :D

Con questo si chiude il primo giro di applicazioni, anche se ne ho ancora qualcuna in serbo (e anche qualcuna in croato) per un prossimo articolo, come ad esempio capire come si modificano le probabilità delle pescate usando le fetchland.

È davvero tutto così semplice?

No. E capiamo brevemente il perché rileggendo la definizione di probabilità: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili.
Che significa nel contesto di Magic che gli eventi, ovvero le pescate, siano equiprobabili? Beh, significa che l’ordine delle carte nel mazzo deve essere casuale! Molti danno per scontato questo concetto e poi, prima della partita, danno una misera mescolata al mazzo. Cazzo no! È così che si fotte la statistica accuratamente calcolata a casa. È così che “ma come cazzo è che gioco lo stesso mazzo del campione del mondo ma lui ha sempre mani perfette e io pesco sempre merda?”.

Che ci crediate o no, anche per lo “shuffling” esiste una teoria matematica che ci spiega qual’è il miglior modo di mescolare un mazzo. Poiché questo non è l’argomento principale dell’articolo e serve sapere almeno cosa sia una catena di Markov, vi lascerò qualche link per approfondire la questione se siete interessati:
Shuffling the cards: math does the trick
The Mathematics of Perfect Shuffle – Stanford University