La matematica è una brutta bestia. Tipo un 6/6 volare, tocco letale, travolgere, annientatore 4.
Quando si parla di giochi, la matematica è fondamentale. Se si parla di giochi di carte dove c’è di mezzo la “fortuna”, la questione diventa vitale. I giocatori di Magic sanno benissimo quanto sia importante la curva del mana, ma quanti di questi sono capaci di fare i conti con il calcolo delle probabilità?
Nel contesto di Magic: the Gathering la statistica è indispensabile, sia che si stiano valutando i match-up dei tornei, sia che si stia facendo deckbuilding. Questo articolo vuole affrontare nel modo più semplice possibile il calcolo di alcuni fattori importantissimi nel gioco, come ad esempio le probabilità di pescare determinate carte nella mano iniziale.
Il calcolo combinatorio
Iniziamo dall’abc. It’s a warm summer evening in ancient Greece… (cit.)
Secondo la definizione classica, la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili..
Capirete quindi che una cosa molto importante da fare è imparare a contare i casi, attività che in gergo viene chiamata calcolo combinatorio. Cominciamo quindi introducendo alcuni concetti base come le permutazioni e le combinazioni.
Iniziamo parlando del fattoriale. Il fattoriale di una variabile 
Il secondo concetto da introdurre è quello delle disposizioni, che sono una digievoluzione delle permutazioni. Se dobbiamo contare in quanti modi possiamo disporre, ad esempio, 3 oggetti presi da un insieme di 5 il conto sarà 
Passiamo all’ultimo argomento, ovvero le combinazioni. Le combinazioni contano in quanti modi possono essere presi
Facciamo un esempio chiarificante. Supponiamo di avere a disposizione 3 donne, Megan, Monica e Mya (cit.). Quanti modi ho di farmene 2 contemporaneamente? Ovviamente 3, Megan-Monica, Mega-Mya e Monica-Mya. Come si può notare, l’ordine con cui me le faccio non ha importanza.
Tutto questo, tradotto in formule, diventa
Questo discorso ha molto più senso (forse) nel contesto di Magic (e di qualunque altro gioco di carte). La combinatoria ci fornisce informazioni su quanti modi abbiamo di pescare la mano iniziale di 7 carte da un insieme di 60 e, ovviamente, nella mano inizia l’ordine con cui prendiamo le carte non conta!
Distribuzione Ipergeometrica
L’ultimo concetto da introdurre è quello di distribuzione ipergeometrica. Questa valuta la probabilità di ottenere
successi in 
pescate senza reinserimento da un insieme disomogeneo di oggetti. Senza entrare nel dettaglio matematico di come si arriva alla formula finale, vediamo qual’è l’equazione e a cosa ci serve in Magic!
dove:
x = numero di carte che vogliamo pesacare di cui stiamo calcolando la probabilità;
p = numero di carte che si pescano;
c = numero totale di carte che vogliamo pescare contenute nel mazzo;
t = numero totale di carte nel mazzo.
Questa equazione è incredibilmente utile e fortunatamente questo calcolo non deve necessariamente essere fatto a mano. Molti fogli di calcolo elettronici, come Excel Google Documents implementano la distribuzione ipergeometrica tra le funzioni. E ci servirà per un sacco di applicazioni, vediamone qualcuna.
Giochiamo con la Magic-Ipergeometrica
Supponiamo di essere ad un torneo legacy e di giocare contro un Reanimator e vogliamo calcolare la probabilità di avere almeno uno dei nostri fantastici 4x Leyline del Nulla nella mano iniziale.
Assumendo di giocarne 4 in un mazzo da 60, utilizziamo la formula HYPGEOMDIST(0,7,4,60).
In questo modo calcoliamo la probabilità di avere esattamente 0 Leyline nella mano iniziale. Se sottraiamo questo valore a 1, troveremo la probabilità di averne almeno uno. Diminuendo il valore della pescata e facendolo passare da 7 fino a 1, otteniamo le probabilità in caso di mullingan.
Interessante! Abbiamo scoperto che mulligando fino a 5 passiamo da circa il 40% di probabilità di avere almeno un Leyline al 30% e che da qui in poi le chance di averne droppano velocemente! Questo tipo di applicazione è veramente semplice da realizzare e dovrebbe essere studiata da ogni pro-nerd-player prima di un torneo.
Una seconda importante applicazione riguarda le terre. Ah, quante volte ho sentito giocatori, anche bravi, lamentarsi che perdono per mana flood o mana screw (rispettivamente avere troppe o troppe poche terre). Bene, è arrivato il momento di darci un taglio.
La mia applicazione preferita per l’ipergeometrica è la classica “one-land hand”. Ho una terra soltanto di prima mano. Che faccio, tengo? Qual’è la probabilità di pescare almeno una terra nei prossimi turni? Calcoliamolo! Impostiamo
x = 0 (ovvero calcoliamo nuovamente la probabilità di pescare 0 carte per poi sottrarlo a 1, l’evento certo)
p = 1, 2, 3, 4, …
c = il numero di terre che ho nel mazzo meno 1 (quella che ho pescato di prima mano)
t = 60 meno il numero di carte in mano (in questo caso, 53)
Cazzo questo è fenomenale! La prima conclusione da queste statistiche è che la decisione di tenere o meno una mano con una terra dipende se si inizia la partita o se si parte secondi pescando una carta in più. Se si inizia, si giocherà la terra di turno pescata nella mano iniziale e si avrà circa il 47% di probabilità di pescare e giocare un’altra terra nel secondo turno.
Se invece si inizia secondi, si hanno due pescate per arrivare alla seconda terra e la probabilità di droppare la seconda al secondo turno schizza ad un inaspettato 73%! Applicando la distribuzione ipergeometrica abbiamo dimostrato che è meglio tenere una mano da 1 terra solo se non si gioca per primi!
L’ultima applicazione che andiamo a vedere in questo articolo è un po’ più complessa, ma mostrerà quanto possa essere potente e flessibile il calcolo delle probabilità e in generale la matematica (in barba a quelli che dicono che nella vita la matematica non serve!). Creiamo un piccolo caso di studio. Supponiamo di giocare ad un torneo Modern con un controllone UW contro, ad esempio, un White Weenie.
In mano ho una Molla Mentale e una terra. Nel campo di battaglia ho pochi paranti e un attacco massivo del mio avversario il prossimo turno sarà sicuramente letale. Mi serve un Colpo Militare, una Ira di Dio o Gideon Jura per salvarmi il culo dalla disfatta del prossimo turno. Giocata la terra del turno, posso produrre un totale di 11 mana. Mi restano 40 carte nel mazzo, di cui 3 Ira di Dio, 3 Colpo Militare e 2 Gideon Jura.
La domanda è, quanto devo pagare Molla Mentale per massimizzare la probabilità di non morire gonfio il prossimo turno? Let’s do the math!
Ho tre opzioni per la Molla Mentale:
1 Pesco due carte (pagando 2UU) e rimango con 7 mana open. In questo modo sarò in grado di giocare una qualsiasi delle 8 spell che cerco se dovessi pescarla.
2 Pesco 4 carte (pagando 4UU) e resto con 5 mana open. In questo modo posso giocare sia Ira di Dio che Gideon Jura.
3 Pesco 5 carte (pagando 5UU) e resto con 4 mana open. In questo modo posso giocare solo Ira di Dio.
Analizziamole tutte e 3.
I calcoli indicano che la cosa migliore da fare è giocare Molla Mentale pagando X = 4, che mi da circa il 43% di chance di pescare qualcosa qualcosa di utile. Mediamente, recitando un passo della Bibbia a scelta, farete pulizia del campo giocando un’Ira di Dio 
Con questo si chiude il primo giro di applicazioni, anche se ne ho ancora qualcuna in serbo (e anche qualcuna in croato) per un prossimo articolo, come ad esempio capire come si modificano le probabilità delle pescate usando le fetchland.
È davvero tutto così semplice?
No. E capiamo brevemente il perché rileggendo la definizione di probabilità: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili.
Che significa nel contesto di Magic che gli eventi, ovvero le pescate, siano equiprobabili? Beh, significa che l’ordine delle carte nel mazzo deve essere casuale! Molti danno per scontato questo concetto e poi, prima della partita, danno una misera mescolata al mazzo. Cazzo no! È così che si fotte la statistica accuratamente calcolata a casa. È così che “ma come cazzo è che gioco lo stesso mazzo del campione del mondo ma lui ha sempre mani perfette e io pesco sempre merda?”.
Che ci crediate o no, anche per lo “shuffling” esiste una teoria matematica che ci spiega qual’è il miglior modo di mescolare un mazzo. Poiché questo non è l’argomento principale dell’articolo e serve sapere almeno cosa sia una catena di Markov, vi lascerò qualche link per approfondire la questione se siete interessati:
Shuffling the cards: math does the trick
The Mathematics of Perfect Shuffle – Stanford University
Send to Kindle
Già mi stupisco di ricevere un commento alle 10 di domenica mattina, va benissimo quello che hai scritto
Mws rules.
che ci credi o no stavo testando un mazzo legacy atm
l’articolo è interessantao
Ah un disastro! Potrebbe esplodere Excel se calcoli le probabilità!
Gran bell’articolo
Per fortuna ho un po’ di conoscenze in entrambi gli argomenti
Diciamo pure che quest’anno ho inserito nel piano studi Calcolo delle probabilità solo per questo genere di cose lol.
Il primo quote mi ha fatto troppo lollare
Io anche sono stato ispirato dal corso di complementi di analisi e probabilità per l’articolo… chissà perché, le cose entrano in testa prima quando si parla di nerdate (vedi “La fisica dei supereroi”!)
Dal corso di probabilità che ho seguito, ci tengo a precisare che la formula (della hyp) che avete scritto è chiamata “Estrazioni in blocco” ed è una “semplificazione” della Ipergeometrica. E’ usata perchè si ricorda più facilmente
ciao sono nuovo e vi seguo da moltissimo tempo. Gioco a Magic da una vita e questo articolo mi è piaciuto così tanto che ho deciso di scriverlo
+1k anche se matematica alle 11 del mattino è una botta, ho letto e appreso. Mai più random deck
Mi accodo al mio uomo qua sopra, articolo approvato nonostante il deficit di attenzione post risveglio
Miiiinchia, voglio venire a Torino a giocare con voi.. Qui a Milano son tutti delle mezze seghe!
…è un mega articolo, bello e completo
Zio nella lega di milano ci sono i giocatori legacy più forti d’italia…
…senza nulla togliere ai torinesi
Peace Man
Rispondo qui anche goblin sotto, intendevo all’interno della sezione territoriale Milano di Lega Nerd
Facciamo così, per precauzione al compleanno della Lega mi porto qualche mazzo
È qualche mese che sono fermo ma a Milano ci sono parecchi giocatori eternal coi controcazzi. Il team degli ovini è sempre stato decisamente avanti
Articolo fantastico! (Anche se fare sti calcoli quando gioco a Magic mi farebbe solo capire quanto sono una sega a fare i mazzi)
ma sopratutto 
!
Di Magic non so un cazzo Ryan, ma l’esposizione e la trattazione dal punto di vista matematico sono semplici e comprensibili. E soprattutto fanno capire che a Magic (come in tanti altri giochi) non puoi giocare alla “quartzo di qane” o improvvisarti pVo. E soprattutto che la matematica aiuta in molte occasioni.
é 
Non ne so un cazzo di Magic, ma hai spiegato metà programma di probabilistica di quarta in un decimo del tempo, ma altrettanto chiaramente.
Molto bello veramente, senza contare che poi in casi di gioco il ragionamento probabilistico va a farsi fottere il più delle volte (psicologicamente parlando).
Se fai calcoli probabilistici sulle azioni dell’avversario, hai ragione (è anche assurdo farne), ma non sulle casistiche relative al mazzo, lì la psicologia c’entra poco…
Ekv se non sai di cosa stai parlando GTFO.
http://www.psico.units.it/fac/mdida3/fe_ipp4.pdf
Per farti fare un’infarinatura.
Devo proprio dire BIAS altrimenti nessuno capisce
Anche il migliore dei calcolatori può cadere preda di bias più o meno comuni (anche il fatto che tu conosca il calcolo delle probabilità e/o sia tu un matematico può indurti a cadere in certi bias).
Io mi riferivo al dato matematico di per sé, che presume un ragionamento matematico corretto, non della sua interpretazione… Il tuo pdf te lo potevi anche tenere visto che -ovviamente- non c’ho capito un cazzo; facevi prima a linkare alla wiki.
*alla sua interpretazione
Fuck yeah!
Ottimo articolo. Ogni giocatore dovrebbe SEMPRE tenere queste cose in mente sia quando builda, sia quando rosica per le giocate altrui.
Purtroppo per giocare e buildare completamente le nozioni dell’articolo vanno integrate con:
-La psicologia: conoscere le probabilità influiscono sia quando si deve giocare una carta (si gioca diversamente quando si sa che è probabile che la carta riesca), sia quando si gioca contro (se penso che l’altro possa avere una carta, gioco diversamente)
-Considerazioni su carte random, possibilità di trovarsi contro o meno determinate carte, effetto di tutori, draw effects, fetch effetct e tante altre variabili.
Purtroppo per analizzare tutto non solo non basterebbe un articolo, ma neanche un solo libro.
Da un lato è un peccato, ma dall’altro emerge la complessità e la straordinarietà di un gioco come magic
Bell’articolo! Lo favvo!
bellissima citazione all’inizio!
anche se è da un bel pò che non gioco a magic penso che quest’articolo sia veramente utile 
È una delle cose più nerd che abbia mai letto sono intimamente commosso. È il metro di paragone con cui si dovrebbe misurare ogni altra
Lego esclusi cazzo, si intende.
Sti catzi, grazie!
Io sono stato bocciato la bellezza di 11 volte all’esame di probabilità e statistica (alla 12 ho preso un sudatissimo 18 e sono uscito dicenso al professore: “La legge dei grandi numeri era dalla mia parte, lei non poteva averla vinta!”. Soddisfazioni.)e quando ho letto “È davvero tutto così semplice? No.” ho riso amaramente.
QUESTA è una nerdata totale.
Grazie Piffo! Ma aspetta di vedere cos’ho in mente per te, la sezione Toscana e Magic…
Ottima bro.
Merda avevo lasciato le Magic all’edizione 8… mo me ricompro il mazzo base.
e così non si laureò mai più…
completamente d’accordo col
Ah cazzo ma io sono della sezione Roma, dovrei odiarti e scrollare il tuo post… LOAL.
Uelcom beck, maderfaccher!
Ps. Voglio il post sul DRAGAGGIO. La peggio lamerata dai tempi di black lotus + channeling + fireball!
Grandioso
adoro questo articolo
Ma allora siete tutti contro di me!
Fin da quando ero alto così (ora sono almeno 40 cm più alto) ho amato alla follia questo gioco. Ricorderò per sempre le giornate passate a giocare con i miei amici, vivendo la partita come nemmeno quel tizio che gioca a iu-gi-o alla tv.
poi un brutto giorno è arrivato in paese un cazzo di negozio magic e da allora sono tutti diventati stra pro e se il giorno prima le discussioni erano del tipo:
-io ti do questa carta super zombie se tu mi dai quella bestia con i denti giganti e quella carta fighissima che sbrilluccica-
a robe del tipo:
-per questa carta, chehovistosuinternet che cosa sediciotto euri mi devi dare almeno millemila dindi più un Tiratore Scelto, una Contromagia, una foto di tua sorezza in pose zozze e una boccetta di sangue di vergine. Muoviti che l’inflazione aumenta!-
Molti possono affermare che la loro infanzia è finita dopo aver scoperto che i genitori non sono infallibili, dopo aver capito quanto è cattivo il modo o dopo aver visto il primo pornazzo.
La mia è finita quel giorno.
Avevo giurato a me stesso di smettere, e, devo dire, per un bel po’ ci sono riuscito. Ora mio fratello [ chè è alto tanto così più di quanto lo fossi io alla sua età (cosa che mi fa parecchio incazzare)] ha iniziato a giocare e io che ci posso fare? Mica posso stare inerme mentre rischia di venir fregato come è successo mille volte a me.
Poi vi ci mettete anche voi con questi articoli… emmavvvaffanculo
*sorella
comunque:fav: perchè vaffanculo