Sono cominciate le ferie, avete affittato un appartamento nella vostra località di mare preferita, caricato la macchina, controllato l’olio: siete pronti per partire. Guardate le previsioni per la settimana: sole, sole e ancora sole! Siete al settimo cielo e pronti ad affrontare con lo spirito giusto le solite code chilometriche. Però siete appena a metà strada che comincia a piovere, e non smetterà per tutta la settimana! Ma perché è così difficile fare previsioni accurate?! A questa domanda risponde la Teoria del Caos, argomento di questo articolo.
La Teoria del Caos (Chaos Theory) è una branca della matematica che si occupa di studiare i sistemi deterministici che risultano, però, imprevedibili. Tratta, cioè, dell’analisi di sistemi che, per quanto siano descritti in modo esatto da equazioni matematiche, presentano un comportamento caotico e apparentemente casuale.
Questa caratteristica è spesso riscontrata in sistemi complessi, ovvero costituiti da un grande numero di elementi interagenti, come il sistema meteorologico. Ma anche in sistemi più semplici, ad esempio nel caso del problema dei tre corpi e lo studio delle popolazioni in ecologia (vedi box sotto).
Nel seguito dell’articolo parleremo della nascita della Teoria del Caos e vedremo alcuni esempi e concetti fondamentali legati ad essa. Le spiegazioni saranno il più semplice possibile e la matematica tenuta davvero a livelli minimi.
Userò alcuni termini derivati dalla teoria delle equazioni differenziali ma dal significato intuitivo, che riporto qui per chiarezza: movimento o moto, nel senso di evoluzione di un sistema nel tempo e condizione iniziale, cioè stato del sistema all’inizio dell’osservazione.
Nascita della Teoria del Caos
La Teoria del Caos nasce dal lavoro del meteorologo Edward Lorenz nel 1960 che, presso l’MIT, cercava la “formula” per prevedere i cambiamenti climatici. A tale scopo Lorenz aveva codificato 12 equazioni differenziali la cui soluzione al calcolatore doveva teoricamente rappresentare l’evoluzione del meteo. Un giorno, volendo ripetere un particolare esperimento a partire da un istante intermedio, Lorenz inserì come condizioni iniziali i valori della soluzione, precedentemente calcolata, in questo istante.
Tuttavia inserì numeri con solo 3 cifre decimali, mentre il calcolatore lavorava con numeri a 6 cifre significative.
Secondo la concezione matematica del tempo, una così piccola approssimazione avrebbe dovuto generare una soluzione molto vicina alla precedente. Immaginate quindi lo stupore di Lorenz quando, finiti i calcoli, si accorse che il risultato era completamente differente dal precedente. Aveva scoperto una proprietà fondamentale dei sistemi caotici: la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, meglio nota come effetto farfalla.
Aveva scoperto l’effetto farfalla.
La concezione condivisa dagli studiosi prima delle scoperte di Lorenz, era che il determinismo intrinseco nelle leggi naturali che descrivono le condizioni meteorologiche, rendesse possibile previsioni esatte della loro evoluzione futura. Questo, a livello puramente teorico, è possibile, ma richiede la conoscenza perfetta dello stato di tutte le molecole d’aria; nella pratica è quindi impossibile.
Per spiegare il concetto, Lorenz stesso propose l’idea, quasi paradossale e matematicamente indimostrabile, che il battito d’ali di una farfalla in Brasile – ovvero un piccolissimo spostamento delle molecole dell’aria – possa provocare, a distanza di tempo, un tornado in Texas. Ciò significa allora che c’è solo un certo grado di accuratezza che le previsioni possono avere, mentre più avanti nel tempo si guarda più l’accuratezza cala.
Per poter studiare la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali su un sistema più semplice, Lorenz ultra-semplificò le equazioni della convezione, risultando in un sistema di sole 3 equazioni differenziali:
[latex]\frac{dx}{dt} = \sigma(y-x)[/latex]
[latex]\frac{dy}{dt} = \rho x – y – x z[/latex]
[latex]\frac{dz}{dt} = x y – \beta z[/latex].
Come si vede nella figura sottostante, il comportamento delle soluzioni nel tempo appare casuale (il caso delle coordinate [latex]y[/latex] e [latex]z[/latex] è analogo); inoltre si nota una forte dipendenza dalle condizioni iniziali.
Andamento temporale della x(t) con condizione iniziale x(0)=3 (blu) e x(0)=3.1 (rosso)
Tuttavia Lorenz si accorse che il moto nello spazio tridimensionale aveva la forma di una doppia spirale. Diede il nome di attrattore strano di Lorenz a questa immagine.
Gli attrattori strani sono un altro fondamentale capitolo della Teoria del Caos, dato che si ripresentano molto spesso nello studio di sistemi complessi.
Rappresentano, sostanzialmente, una sorta di equilibrio dinamico, ovvero una traiettoria che il sistema continua a percorrere senza mai stabilizzarsi in una configurazione finale.
Crescita delle popolazioni e caos
Supponiamo ora di voler studiare l’evoluzione di una popolazione che dispone di fonti di cibo limitate e che quindi non può crescere oltre un certo numero di individui. Prendiamo per esempio una specie particolarmente intelligente di pinguini in Antartide, in grado di sfuggire con successo ai predatori.
Detto [latex]r[/latex] il tasso di crescita annuale dei pinguini e supponendo che la popolazione sia un numero compreso fra 0 e 1, cioè variabile fra 0% e 100% della popolazione massima, possiamo scrivere la seguente equazione, detta mappa logistica:
Il biologo Robert May studiando questa semplice equazione, si accorse che per valori del tasso di crescita inferiori a 3 si aveva estinzione oppure stabilizzazione ad un valore finito. Tuttavia, non appena la [latex]r[/latex] assume valori superiori a 3, si presenta un andamento caotico – e quindi imprevedibile – in cui la popolazione salta fra due possibili valori
Aumentando ancora [latex]r[/latex], la popolazione comincia a variare fra 4, 8, 16, 32, ecc valori, apparentemente senza criterio alcuno.
Come nel caso dell’attrattore di Lorenz è possibile riconoscere una certa regolarità nella soluzione del problema se si guarda al diagramma di biforcazione, cioè il grafico dei valori che la popolazione può assumere in funzione del tasso di crescita.
Diagramma di biforcazione della popolazione
In particolare se si zooma su uno dei “rami” del diagramma, si vede che si ottiene un secondo diagramma pressoché uguale al precedente, se non per un fattore di scala. Questo concetto, molto importante in Teoria del Caos, è detto auto-similarità (self-similarity).
Auto-similarità e frattali
Finora abbiamo incontrato due esempi di immagini che presentano auto-similarità: l’attrattore di Lorenz e il diagramma di biforcazione della mappa logistica. Immagini per cui una parte è simile (al limite in modo approssimato) all’immagine stessa vengono anche definite frattali.
By self made based in own JAVA animation, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2110722
Uno dei primi esempi di frattale è la curva di Koch, dal nome del matematico svedese che la descrisse nel 1904. La curva (nella sua forma a “fiocco di neve”) è molto semplice da costruire: dato un triangolo equilatero si aggiungono al centro di ogni lato 3 triangoli equilateri più piccoli; al centro dei lati dei secondi triangoli si aggiungono ulteriori triangoli più piccoli e si ripete ad libitum.
Torniamo ora al diagramma di biforcazione della mappa logistica; nel 1975 il matematico Mitchell Feigenbaum calcolò che le biforcazione hanno luogo con frequenza regolare. Cioè, detti [latex]\lambda_{n-1}[/latex], [latex]\lambda_n[/latex] e [latex]\lambda_{n+1}[/latex] tre punti di biforcazione consecutivi, è costante la quantità:
[latex]\delta=\frac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}[/latex]
circa pari a 4.6692, detta costante di Feigenbaum. Di fatto [latex]\delta[/latex] rappresenta il fattore di scala per cui rimpicciolire l’immagine ottenendone una uguale. Feigenbaum estese la sua analisi a equazioni diverse dalla mappa logistica, ad esempio [latex]f:\ x \rightarrow x^2+c[/latex] e [latex]f:\ x \rightarrow c \ sin(x)[/latex], rendendosi conto che la stessa costante si ripresentava: aveva scoperto il principio di universalità.
Questo principio è di grande aiuto nell’analisi di sistemi caotici molto complessi, infatti è possibile ricondursi allo studio di sistemi più semplici che però esibiscono lo stesso comportamento.
Il caos non è casualità
La Teoria del Caos è nata, come abbiamo visto parlando del lavoro di Lorenz, per cercare di giustificare l’apparente incongruenza del determinismo di fronte all’imprevedibilità di alcune tipologie di sistemi. Un’imprevedibilità che non va assolutamente confusa con casualità, dato che i sistemi possono essere descritti in modo esatto da equazioni. Volendo parlare in termini filosofici, la Teoria del Caos concilia la visione deterministica della natura, cioè che sia possibile descriverla con leggi esatte, con il libero arbitrio.
Se infatti una farfalla, battendo le ali in Brasile, può causare un tornado in Texas, allora ogni nostra azione, anche la più insignificante, può teoricamente condizionare il futuro sviluppo dell’Umanità.
Abbiamo poi visto che è possibile riconoscere alcune caratteristiche di regolarità e simmetria nei sistemi caotici (auto-similarità e costanti di Feigenbaum) e che esse vengono condivise da una larga classe di sistemi (universalità).
Di fatto la natura è un esempio di sistema caotico, caratterizzata da strutture definite ma anche varietà; non per niente sono innumerevoli gli esempi di frattali in natura: broccoli, fiocchi di neve, il nostro sistema vascolare e respiratorio, ecc. Il compito della Teoria del Caos è quindi di investigare e descrivere tali sistemi e elementi caotici, studiandone le proprietà.
- Georgios Topaloglou. An Introduction to Chaos Theory. (pdf)
- Chaos Theory for Beginners; An Introduction
- Teoria del caos – wiki
- Chaos Theory: A Brief Introduction
- Carlos Gershenson. Introduction to Chaos in Deterministic Systems. (pdf) – tratta approfonditamente la mappa logistica
- The Lorenz Attractor – in particolare ho preso spunto dal codice MATLAB qui disponibile per creare la figura dell’attrattore di Lorenz
- The Chaos Hypertextbook
- Sistema complesso – wiki
- Edward Lorenz. Predictability. 1972. (pdf)
- Steven Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, And Engineering. Westiview Press, 2015.
- Giancarlo Benettin. Appunti per il corso di Fisica Matematica. 2015
- Julien Sprott. Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos. M&T Books, 1993.
