Lavorare con i modelli #LegaNerd
di
abbo
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Ah no scusate! Questa la dovevo tenere per quell’altro articolo: “lavorare con le modelle” LOL

Cazzate a parte, questo è un articolo serio.

Vi voglio introdurre, tramite un esempio facile, alle pratiche di laboratorio di chi si occupa di lavorare coi modelli reali (e quindi non simulati al computer).

Immaginiamo di essere a capo di un’azienda che deve costruire una nave.. siccome l’immagine che mi piaceva di più era questa:


Immaginiamo di lavorare per Hollyood e che ci venga richiesto di costruire una vera nave tipo quella della foto. Un battello, insomma :)

Per fare i nostri calcoli e per vedere se tutto va bene noi ci chiudiamo in laboratorio (o, più precisamente, in cantiere) e dopo aver costruito la nostra barca la dotiamo di motori (tutto rigorosamente in scala 1:100) e la facciamo galleggiare nella nostra vasca piena d’acqua.

La domanda che ci facciamo è la seguente:

”Quanto deve essere potente il motore per far muovere la barca (reale) ad una certa velocità?”

Ecco le grandezze fisiche con cui dovremmo lavorare e le loro rispettive unità di misura:


Densità ———> $latex Kg/m^3 $
Accelerazione –> $latex m/s^2 $
Forza ———–> $latex Kg \cdot m/s^2 $
Velocità ——–> $latex m/s $

Ora il ragionamento è il seguente:

Fra le grandezze reali (quella in scala 1:1 della vera barca) e le grandezze campione (quella della scala 1:100) ci saranno dei valori, chiamiamoli k1, k2, k3, detti fattori di proporzionalità che mi permetteranno di passare dalle misurazioni effettuate in cantiere a quelle reali, su cui progettare la mia barca a grandezza naturale.

Le grandezze con cui devo lavorare sono, ovviamente:


Lunghezze –> metri
Masse ——-> chili
Tempi ——-> secondi

e, dette U1, U2, U3 le unità di misura reali e u1, u2, u3 le unità di misura ridotte si ottiene che:


Lunghezze –> metri —-> $latex U_1 = k_1 \cdot u_1 $
Masse ——-> chili —-> $latex U_2 = k_2 \cdot u_2 $
Tempi ——-> secondi –> $latex U_3 = k_3 \cdot u_3 $

Tornando ora alle grandezze che ci interessano, abbiamo quindi il seguente risultato:


Densità ——–> $latex U_2 \cdot U_1^{-3}$
Accelerazione –> $latex U_1 \cdot U_3^{-2}$
Forza ———-> $latex U_1 \cdot U_2 \cdot U_3^{-2}$
Velocità ——-> $latex U_1 \cdot U_3^{-1}$

Ora sostituiamo alle unità di misura reali quelle ridotte (moltiplicate per i rispettivi coefficienti di proporzionalità che abbiamo ipotizzato):


Densità ——–> $latex (k_2 \cdot k_1^{-3}) \cdot (u_2 \cdot u_1^{-3}) $
Accelerazione –> $latex (k_1 \cdot k_3^{-2}) \cdot (u_1 \cdot u_3^{-2}) $
Forza ———-> $latex (k_1 \cdot k_2 \cdot k_3^{-2}) \cdot (u_1 \cdot u_2 \cdot u_3^{-2}) $
Velocità ——-> $latex (k_1 \cdot k_3^{-1}) \cdot (u_1 \cdot u_3^{-1}) $

A questo punto osservo che ci sono grandezze che non dipendono dalla scala utilizzata, che sono la densità dell’acqua (visto che sia la nostra vasca che il mare conterranno grosso modo la stessa tipologia d’acqua) e l’accelerazione di gravità (che è nota a tutti).

Per cui posso concludere che i fattori di proporzionalità della densità e dell’accelerazione non devono far variare la quantità misurata.. e qual è quell’unico fattore che in una moltiplicazione non fa variare il valore di partenza?

Spoiler
il numero 1.

Ok, quindi sappiamo che:


Densità(reale) = Densità(scala) —-> $latex k_2 \cdot k_1^{-3} = 1 $
Acceler.(reale) = Acceler.(scala) –> $latex k_1 \cdot k_3^{-2} = 1 $

Tutti quei k1, k2 e k3 sono le nostre incognite, alle quali non abbiamo ancora attribuito un valore definito: ma per farlo ci basta ora ricordare che stiamo lavorando su di una scala ben definita (1:100) per risolvere tutti i nostri dubbi: la scala 1:100 equivale a dire che il coefficiente k1 (quelle legato alle lunghezze) vale esattamente 10^2.

Il resto è matematica elementare e risolvendo rispetto a k2 e k3 si ottiene banalmente:


Lunghezze –> $latex k_1 = 10^2 $
Masse ——> $latex k_2 = 1/k_1^{-3} = k_1^3 = (10^2)^3 = 10^6 $
Tempi ——> $latex k_1 = k_3^2 $ –> $latex k_3 = 10 $

Per cui, tornando alle grandezze che ci interessano per rispondere alla nostra domanda, focalizziamo la nostra attenzione sulla forza del motore e sulla conseguente velocità della barca:


$latex Veloc(reale) = k_1 \cdot k_3^{-1} \cdot veloc(ridotta) = 10 \cdot veloc(ridotta) $
$latex Forza(reale) = k_1 \cdot k_2 \cdot k_3^{-2} \cdot forza(ridotta) = 10^6 \cdot forza(ridotta) $

E queste relazioni rispondono esattamente alla nostra domanda iniziale:

Per far sì che la barca reale si muova ad una velocità 10 volte superiore a quella del modello, occorrerà un motore che imprima una forza 10^6 = 1.000.000 volte maggiore di quella utilizzata nel modello

abbo

Era chiaramente un uomo dalle molte qualità, anche se per lo più cattive. [D.N.A.] La matematica non si capisce: alla matematica ci si abitua. [John Von Neumann]
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domenica 19 giugno 2011 - 19:34
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