L’Hotel di Hilbert

Riporto integralmente il Bazinga! del buon virgu in quanto più che esaustivo:

Per nerd matematici!
Conoscevo la teoria di Cantor sugli insiemi infiniti da quando l’ho studiata all’università, ma sono venuto a conoscenza del paradosso dell’hotel di Hilbert solo ora.
Chi abbia dimestichezza con il concetto di infinito numerabile può apprezzare la finezza del paradosso, chi invece fosse a digiuno di matematica può comunque rimanere affascinato dagli scenari che si possono creare partendo dall’idea di infinito.
Il paradosso è stato inventato dal famoso matematico tedesco David Hilbert (1862–1943), da allora sono state scritte numerose variazioni sul tema.
Per chi volesse leggere una versione divertente ma allo stesso tempo precisa e approfondita del paradosso, suggerisco il racconto di Stanislaw Lem “L’hotel straordinario“.
Segnalo inoltre il link alla pagina di Wikipedia: Hilbert’s paradox of the Grand Hotel.
Di seguito riassumo a grandi linee il paradosso.

L’albergo di Hilbert è un albergo con infinite stanze (1, 2, 3, …) tutte occupate.
La prima sera si presenta un cliente che vorrebbe alloggiarvi. “Impossibile” direbbe chiunque spontaneamente, tuttavia a tale richiesta il direttore dell’albergo non si scompone: chiede gentilmente ai clienti già accomodati di cambiare stanza, passando ognuno alla successiva e così facendo la stanza numero 1 viene liberata per il nuovo ospite.
La seconda sera arriva un intero autobus di clienti, un autobus speciale però, che contiene a sua volta un numero infinito di clienti! Accomodare una tale quantità di clienti sembrerebbe ancora una volta impossibile, tuttavia il direttore ha ancora la soluzione: chiede ai clienti dell’albergo di passare dalla stanza numero n, in cui si trovano, alla stanza numero 2n, liberando così tutte le stanze dispari per i clienti appena arrivati.
La terza sera si presenta al direttore una nuova prova, ancora più ardua, ai limiti dell’impossibile: infiniti autobus, ognuno con infinite persone chiedono di trascorrere la notte in albergo. In quest’ultima fatica il direttore si supera: chiede ai clienti già accomodati di passare alle stanze numero 2,4,8,16,… (potenze di 2) quindi ai clienti del primo autobus di sistemarsi nelle stanze 3,9,27,81,… (potenze di 3) e ai clienti di ogni altro autobus di occupare le stanze aventi per numero le potenze del successivo numero primo (5,25,125,… poi 7,49,343,… ecc.). Essendo i numeri primi infiniti (dim), ancora una volta tutte le richieste di pernottamento saranno accolte.

Un attento osservatore noterà che nella terza sistemazione infinite stanze risulteranno libere, tutte quelle che non sono potenze di un primo! In realtà si può riempire esattamente l’albergo in vari modi, ad esempio con il metodo dei quadrati (rimando l’interessato al racconto di Lem, esaustivo al riguardo).
Sull’infinito ci sarebbe molto altro da dire, spero che questo paradosso stuzzichi la vostra curiosità sul tema.

Concludo con una citazione perfetta per l’occasione:

Quello è infinito, questo è infinito. Sottraendo questo infinito a quell’infinito, ciò che resta è infinito.
Isavasya Upanisad

Via :bazinga: grazie a virgu