La Matematica dietro la Giocoleria

La giocoleria è l’arte (praticata dal giocoliere) di manipolare con destrezza uno o più oggetti. La più nota forma di giocoleria è la giocoleria con lanci, ma vi sono specialità (come la giocoleria da contatto, o contact juggling) in cui non è previsto il lancio di oggetti.

Si è parlato già un po’ di contact juggling qui, quo e qua ma vediamo di passare alla vera giocoleria nerd: il toss-juggling, ovvero lanciare in aria palline (anche clave e cerchi volendo) e riprenderle, chiaramente.

Un’arte antichissima

La giocoleria esiste da quasi 4000 anni. Ecco la prima testimonianza: una tomba dell’antico Egitto su cui sono raffigurate alcune donne che si destreggiano con delle palline.

Tuttavia solo nel XX secolo la giocoleria è stata teorizzata ed è nato il cosiddetto “siteswap”: una notazione numerica per descrivere i vari schemi realizzabili lanciando in aria roba.

Semplifichiamo le cose

Come vi mostra questo simpatico omino giocoliere non c’è un solo modo per far girare le palle, ma sono possibili moltissimi patterns.

Partiamo da alcune premesse e semplificazioni necessarie per la formalizzazione:

• I lanci vengono effettuati con un ritmo regolare;
• Viene lanciata sempre una pallina per volta alternando la mano destra e la sinistra;
• Non vengono mai tenute due o più palline in una sola mano (tranne quando il giocoliere inizia)
• Le traiettorie delle palline giacciono su un piano verticale parallelo alle spalle del giocoliere;
• Infine trascuriamo il tempo che una pallina passa nella mano del giocoliere, ovvero condensiamo in un unico istante il momento della presa di una pallina e quello del lancio della stessa

Pari o dispari?

Bene. Ora analizziamo per prima cosa gli schemi base: quelli in cui le palline raggiungono sempre la stessa altezza. Il più elementare è la cascata a tre palline (nella pattern list cliccate su “3 cascade”), come potete notare valgono tutte le premesse fatte.

Con qualsiasi numero dispari di oggetti lo schema base è questo: ogni pallina viene lanciata da una mano all’altra -se non ci credete scorrete verso il basso la pattern list e cliccate su “5 cascade”.

Perchè non si scontrano? Perché ogni pallina viene presa esternamente, portata verso il centro e lanciata, in questo modo le traiettorie delle palline compongono la forma di un infinito, più o meno dai.

Con un numero pari di oggetti invece lo schema base è quello della fontana (cliccate nella pattern list su “4 fountain” oppure “6 fountain”), ovviamente anche in questo caso valgono le premesse fatte.

Notate però che, sta volta, le palline che vengono lanciate dalla mano destra vengono riprese dalla mano destra e lo stesso vale per la mano sinistra. Perchè non si scontrano? Per lo stesso motivo di prima.

Guardiamo le cose dall’alto

Ora prima di arrivare a dare i numeri, matematici abbiate pazienza, cercheremo di disegnare lo schema della cascata a 3 palline da un punto di vista differente.

Immaginate che l’omino cammini spostandosi di moto rettilineo uniforme giocando 3 palline: la traiettoria delle palline risulterebbe questa.

Ogni pallina, come ho già detto, raggiunge sempre la stessa altezza, essendo uno schema base, e passa continuamente dalla mano destra alla mano sinistra. Le mani scorrono lungo i binari evidenziati in grassetto.

Se osservassimo la scena dall’alto e il giocoliere usasse 3 palline di colore differenti, ricordando che il tempo che una pallina passa in una mano viene trascurato, ma soprattutto tenendo presente che il giocoliere effettua lanci con un ritmo costante, potremmo disegnare lo schema così.

Osservate che il tempo è stato diviso in intervalli regolari (le linee tratteggiate) che vengono scanditi dai lanci del giocoliere: a ogni “beat” un lancio.

Quindi dopo che la prima pallina arancione viene lanciata (un intervallo) vengono lanciate le altre due palline, blu e gialla, (due intervalli), al beat successivo viene presa e rilanciata la prima pallina arancione (totale: 3 intervalli).

Il tempo di volo della prima pallina pertanto dura esattamente 3 intervalli, il tempo di volo delle altre palline? Pure, infatti raggiungono sempre la stessa altezza!

Un numero per ogni lancio

Ecco finalmente svelato il mistero dei numeri, ogni lancio viene indicato con una cifra che corrisponde al numero di intervalli che scorrono durante il tempo di volo della pallina che viene lanciata.

Quindi la cascata a 3 palline può essere espressa così: …33333333… sintetizzabile con un semplice 3. Va da se che più è alto il numero, maggiore sarà il tempo di volo, maggiore sarà l’altezza, maggiori saranno le bestemmie del giocoliere che deve riprendere quelle palline.

Interessante è che i numeri dispari indicano lanci incrociati (la pallina passa da una mano all’altra), quelli pari invece indicano lanci in colonna (le palline vengono riprese dalla stessa mano che le ha lanciate).

E se durante la cascata a 3 palline voglio fare una variazione? Immaginiamo che il giocoliere faccia 6 lanci “normali” (ad altezza 3), e che al settimo beat voglia fare un lancio ad un altezza diversa, che duri quindi un numero di intervalli diverso da 3.

È evidente che questo numero non può essere nè 1 nè 2 in quanto la pallina arancione andrebbe a cadere in mano nello stesso momento rispettivamente alla pallina blu e gialla, contraddicendo le premesse.

Proviamo quindi con un lancio 4, in colonna. La pallina successiva, quella blu, non può essere lanciata nè con un 1 nè con un 3 per lo stesso motivo di prima, scegliamo quindi un 2 che va a riempire “il buco” lasciato dalla pallina arancione.

Ora si può ritornare nello schema base continuando a lanciare dei 3.

Se volete vedere lo schema in cui si susseguono periodicamente i lanci 4, 2 e 3 scegliete nella patern list il terzo schema: “423 basis of many popular tricks”.

Il 423 è la più semplice variazione che si può applicare alla cascata a 3 palline e consiste in un “sideswap” (cambio di lato) da cui il termine “siteswap” con il quale si indica la notazione numerica per descrivere gli schemi.

Dulcis in fundo

Adesso arriva il bello! Se provate a sommare le cifre di un qualsiasi schema e dividete poi per il numero di cifre, ovvero il periodo, guardate un po’: esce il numero di palline che vengono usate per quello schema!

Ad esempio nel 441, che si fa con 3 palline, la somma delle cifre dà 9, diviso 3: 3. In questo modo ogni giocoliere a meno che non sia una capra può pensare a una serie di numeri, fare due calcoli, e provare a lanciare!

E vi assicuro che quando ci si accorge di aver capito il ritmo e le palline tornano nelle mani nel momento esatto in cui le aspetti si prova una sensazione fantastica.

Perchè proprio la media? Bella domanda. Io vi posso dire solo che vengono stese tesi di laurea in matematica a riguardo e che purtroppo sono tutte in inglese, se cercate su google troverete qualcosa.

Un po’ meno semplice

Vi sarete accorti però che nella pattern list vi sono degli schemi indicati con coppie di numeri separate da una virgola all’interno di parentesi tonde.

Si tratta di quegli schemi in cui il giocoliere non lancia una pallina per volta alternando destra e sinistra, ma lancia due palline alla volta contemporaneamente, una con la destra e una con la sinistra. I numeri pari seguiti da una “x” sono quei lanci che pur essendo pari sono incrociati: la pallina passa da una mano all’altra.

Nel video iniziale c’è gente, lo avrete notato (minuto 1.49), che lancia due palline alla volta con la stessa mano, ad altezze diverse però, e prende con una mano due palline, ma non contemporaneamente, prima una e poi l’altra, quindi le rilancia insieme.

Si tratta di lanci multiplex, che vengono indicati con una coppia di numeri inserita fra parentesi quadre.

I limiti della teorizzazione

Nel video avrete infine notato che ci sono anche piroette, lanci dietro la schiena, con le mani sopra la testa, con le braccia che si incrociano. Voglio dire che la giocoleria è molto di più: ci sono un infinità di varianti che non possono essere comprese dalla notazione siteswap. Con 3 palline ad esempio sono possibili moltissimi trick che con il siteswap hanno poco a che fare, che prevedono il movimento di tutto il corpo e non solo delle braccia.

Con questo video capirete cosa intendo.

Per non parlare delle clave con le quali si aggiunge il fattore rotazione che moltiplica i trick possibli: rotazione singola, doppia, tripla, nulla, inversa, orizzontale, verticale ecc.

Fonti:

• Fisica sognante, riflessioni su fisica, matematica, giocoleria e didattica libro di Federico Benuzzi, giocoliere per lavoro e per passione e docente di matematica e fisica nei licei.
• The science of juggling di Peter J. Beek e Arthur Lewbel , articolo pubblicato sulla prestigiosa rivista Scientific American (Novembre, 1995, volume 273, number 5, pages 92-97)
• Mathematics of juggling di Allen Knutson, conferenza del professore di matematica presso Cornell University (stato di New York)
• The physics of juggling di Bengt Magnusson e Bruce Tiemann, articolo pubblicato su The physics teacher (Novembre, 1989)

Segnalo anche:

• The Mathematics of Juggling di Burkard Polster (amazon.it)
• Giocoleria (wikipedia.it)
• Juggling Records (juggling.org)
• Giocoleria.org