Quando uscì questo articolo, mi stupii di come coloro che “convivono con la matematica” credano che dietro affermazioni come “la matematica fa schifo” o “la matematica è lammerda” (cit.) ci sia un cerebroleso che nei suoi migliori anni di vita (leggasi Scuola Superiore) ha passato il tempo girando video idioti con il cellulare, guidando occupazioni di istituto, deridendo proprio coloro che facevano matematica con passione.
È comune che questi coinquilini della matematica ignorino che dietro quelle frasi ci possa essere un altro tipo di persona, qualcuno il cui desiderio più grande sarebbe comprendere appieno quello strano linguaggio della matematica, quelle formule, e quei teoremi e dimostrazioni che reggono il mondo, ma che non ci riesce; che si impegna a fondo per raggiungere quell’obiettivo, ma non ci riesce proprio. Uno come me.
Didattica della matematica
Pur non esaurendo il novero delle cause che rendono oggi la matematica la materia più odiata ed incompresa dagli studenti, risulta chiaro come l’influenza bourbakista abbia recitato il suo ruolo nello stravolgere e (a mio parere) peggiorare la didattica della materia.
I bourbakisti erano un gruppo di matematici, per la maggior parte francesi, che si proposero come obiettivo di riscrivere l’intera matematica sulla base della teoria degli insiemi, con testi molto rigorosi. Per citare alcuni dei principi coi quali venivano esposti gli argomenti basti leggere:
Contenuti algoritmici considerati poco rilevanti e quasi completamente assenti. Risoluzione dei problemi (problem solving) considerata secondaria rispetto alla presentazione assiomatica e sistematica. Le applicazioni pratiche non compaiono mai.
Dal 1959 furono fatti dei convegni sul tema della didattica, in modo che i programmi ministeriali si potessero adeguare. Su wikipedia si legge, riguardo i cambiamenti apportati ai programmi:
Da questo momento in poi nella Scuola italiana è il caos.
E ancora, in una lettera di un gruppo di insegnanti torinesi:
Noi ammettiamo che non si possono chiudere gli occhi e le orecchie di fronte all’algebra moderna, che, effettivamente, mediante essa si riesce meglio ad impadronirsi di taluni concetti che prima restavano sempre definiti in modo insoddisfacente[...] ma non comprendiamo perché in una scuola secondaria occorra fare una trattazione così rivoluzionaria che ha senso solo nei corsi universitari specifici per matematici [...]
Ovviamente i docenti di oggigiorno non sono stati colti impreparati da un cambiamento di rotta così repentino e massiccio come quello che avvenne negli anni ’60, piuttosto penso che l’eredità bourbakista sopravviva nei testi, nella loro impostazione rigorosa ed astrusa.
A quanti di voi è capitato di pensare che il proprio testo fosse scritto in modo talmente complicato da sembrare che l’autore l’abbia fatto così di proposito? Personalmente non ho mai visto un libro di analisi che spieghi il concetto di limite in modo tale da venire incontro ad uno studente al primo approccio e questo non vale solo per i limiti, ma per qualsiasi altro argomento dove un esempio in più non guasterebbe, dove mostrare una semplice applicazione potrebbe essere proprio la chiave per installare un concetto nella mente dello studente.
Opere e autori contemporanei
Fortunatamente il problema è tenuto in grande considerazione (almeno fuori dall’Italia) e viene affrontato ancora oggi da molti studiosi. Uno di questi è Stanislas Dehaene, brillante scienziato cognitivo e professore di psicologia cognitiva sperimentale al Collège de France, nonché autore de “Il pallino della matematica”. Di lui volevo citare una breve riflessione:
“Quando esiste la passione per la matematica, il talento non è lontano. Se, al contrario, un’esperienza sfortunata fa sorgere una fobia per i numeri, l’ansia può impedire che vengano assimilati anche i più semplici concetti matematici”
Da qui, poi, molto può far riflettere il pensiero di un altro autore contemporaneo e molto attivo riguardo al tema della didattica, Keith Devlin, autore de “Il gene della matematica”. Anche lui matematico e scrittore, di nazionalità inglese, ci mostra gli effetti prodotti da un sistema d’insegnamento inappropriato. Nel suo blog si legge:
Teaching, like many things in life, might look simple from the outside, but it assuredly is not. Now, it is true that the likely outcome of a non-pilot taking control of a jet airliner or a non-physician treating a sick patient would be dramatic and tragic, in that people could die. In contrast, if someone not adequately educated in mathematics and untrained in mathematics pedagogy teaches a math class, the children are not likely to die. The worst that could happen are one or more of the following:
• the children learn little or no math
• the children learn some wrong mathematic
• the children learn to fear mathematics
• the children come to believe they cannot do mathematics
• the children come to believe that mathematics is a collection of arbitrary, disjointed rules and procedures that have to be learned
• the children give up mathematics at the earliest possible opportunity
• the children come to believe that mathematics is ugly, illogical, pointless, and useless.
In approfondimento un aiutino per chi non se la cava troppo con l’inglese:
Alzi la mano chi di voi non si trova in almeno una delle situazioni elencate da Devlin, o chi non ha mai pensato che il proprio professore “sì sì, sarà anche preparato, ma ad insegnare è più bravo mio nonno che fa il contadino che questo con la laurea in ingegneria”. Personalmente, mi ritrovo in quasi tutti i casi sopra elencati.
Risulterebbe superfluo, da parte mia, approfondire il tema dell’insegnamento della matematica in Italia, in quanto sono sicuro che ognuno di voi ha ben chiaro quanto il sistema scolastico sia marcio dentro, insensibile ai cambiamenti che avvengono nel resto del mondo e a stimoli di miglioramento di ogni sorta. Ho volutamente ignorato il tema dei finanziamenti alla scuola pubblica come causa del suo declino, non perché siano meno importanti, ma per il semplice motivo che in cinque anni di scuola superiore ho visto il preside e gran parte del corpo docenti impegnato in tantissime questioni fuorché la didattica e l’innovazione nei metodi: l’impiego di fondi (che giungevano periodicamente) in opere di dubbia utilità, suicidio del capo segretario quando scoprirono che usava i soldi della scuola per fini estranei ad essa, finanziamento di progetti che non partivano mai, ecc. Se si considera che il mio istituto contava “a pieno carico” meno di 1000 studenti e che era pur sempre in provincia, non oso immaginare la mole di finanziamenti che giungano in istituti molto più grandi, mentre ho qualche idea su come essi vengano spesi.
In approfondimento la mia esperienza con la materia (e la mia opinione in merito), molto simile a quella di un bambino a cui è stato tolto il proprio Action Man nuotante :-)
Se qualcuno (più preparato di me) volesse far seguito a questo articolo, approfondendo il tema con esperienze personali o portando a conoscenza di noi legaioli altri autori o libri interessanti, quanti si trovano nella mia stessa situazione gliene saranno grati.
Un doveroso ringraziamento va al Prof. Peiretti, che ha avuto la pazienza di ascoltare le parole di un perfetto sconosciuto, portandomi a conoscenza dei due autori sopra citati; e a mia cugggina che ha tradotto la riflessione di Devlin dall’inglese.
Fonti:
L’insegnamento della matematica in Italia su Wikipedia.
Link utili:
Il sito del progetto Polymath
Il blog di Keith Devlin
Stephen Hawking: Professor, Patient & Total Badass
Una bella infografica, semplice semplice ma chiara, che racconta la vita di uno dei massimi scienziati del nostro tempo, Stephen Hawking.
Se dopo esservi laureati ad Oxford a 20 anni e, pronti per il PhD, vi diagnosticassero il morbo di Lou Gherig (altresì nota come sclerosi laterale amiotrofica) dandovi un paio d’anni di vita, sono convinto che molti di voi si sarebbero dati a spenderli in donnine allegre, videogame o lettura di saghe fantasy.
Il nostro invece si è solo messo sotto a pensare ancora più forte.
Scorrete l’infografica per scoprire cosa è riuscito a fare (ok lo conosciamo tutti, ma vedere i suoi traguardi fa sempre una certa impressione).
Link.
Sito ufficiale.
Wikipedia.
La fisica in Angry Birds
Insanity: doing the same thing over and over again and expecting different results.
Albert Einstein
Su LN sono già stati scritti due o tre articoli su Angry Birds.
Chiunque lo abbia provato ha potuto apprezzare una certa presenza della fisica nella “dinamica” del gioco e i più scaltri l’avranno anche sfruttata a proprio vantaggio… Va detto che non è l’unico gioco che applica leggi fisiche, ma di certo è il più famoso.
Alcuni potrebbero avere addirittura fantasticato sulla possibilità di condurre degli studi sulla fisica che sta dietro al celebre videogioco che ha sottratto loro più ore di vita del fumo di sigaretta.
Esiste un Uomo che l’ha fatto, tale Rhett Allain , professore associato di Fisica alla Southeastern Louisiana University nonchè attivissimo blogger divulgativo, che negli ultimi 2 anni ha pubblicato i suoi “studi” in proposito su wired.
Questi sono i suoi risultati in ordine cronologico… enjoy!
- Does the Angry Blue Bird multiply its mass?
- Angry Birds and the Valentines Pendulum
- How Does the Green Angry Bird Work?
- Is the Launch Speed in Angry Birds Constant?
- Physics of the Yellow Angry Bird
- Another Look at Launch Speed in Angry Birds
- The Gravitational Force in Angry Birds Space
- Another Gravitational Experiment in Angry Birds Space
Tanto di cappello al Prof!
Come possiamo vedere i modi per perdere tempo con Angry Birds non si limitano al gioco in sé.
L’ultimo articolo risale al 4 Aprile 2012 e considerando che Angry Birds Space è stato lanciato da meno di un mese immagino che il Prof ci riservi ancora delle perle. Stay tuned!
SELECT Il dilemma di Monty Hall
Premetto che esiste già un articolo su questo famoso dilemma, postato da @Zed più di un anno fa. L’intento è quello di approfondirne la storia e la soluzione, oltre che di vederne alcune varianti con cui potrete fare gli “sboroni” al baretto del paese.
Il dilemma
Una famosa formulazione del dilemma è contenuta in una lettera del 1990 di Craig F. Whitaker, indirizzata alla rubrica di Marilyn vos Savant nel settimanale Parade:
Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte: dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sa cosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la 3, rivelando una capra. Quindi ti domanda: “Vorresti scegliere la numero 2?” Ti conviene cambiare la tua scelta originale?”
Soluzione
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Storia
Questo quesito è noto come il dilemma di “Monty Hall” perché ispirato a un celebre gioco a premi televisivo americano “Let’s make a deal“, il cui conduttore era Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall.
Nella realtà, ovviamente, il gioco non avveniva come sopra descritto: il presentatore in effetti apriva una porta dietro cui si trovava una capra per aumentare la tensione, ma non consentiva ai giocatori di cambiare la propria scelta originale!
In seguito alla pubblicazione del problema nel settimanale Parade, molti lettori si rifiutarono di credere che cambiare la scelta iniziale fosse l’alternativa vincente. Circa 10.000 lettere, incluse un migliaio scritte da PhD, furono inviate alla rivista affermando che la soluzione proposta fosse errata. Anche dopo che furono fornite spiegazioni, simulazioni e dimostrazioni matematiche, molte persone non accettarono che il cambio fosse la strategia vincente.
Esistono diverse varianti della formulazione del problema che propongo di seguito.
Il paradosso delle tre carte (Warren Weaver – 1950)
Giochiamo con tre carte. Una è blu su entrambi i lati, una è rossa su entrambi i lati e una è blu da un lato e rossa dall’altro. Ogni carta è nascosta in una scatoletta nera.
Il giocatore sceglie una delle tre scatolette, estrae la carta e la posa sul tavolo in modo che sia visibile un solo lato.
Supponiamo che il lato che si vede sia blu.
Il conduttore propone al giocatore di scommettere alla pari che è blu anche l’altro lato della carta: se è blu vince il conduttore, se è rosso vince il giocatore.
Conviene al giocatore accettare la scommessa?
Il paradosso delle tre scatole (Joseph Bertrand – 1889)
Ci sono tre scatole identiche. Una contiene due monete d’oro, l’altra due monete d’argento e la terza una moneta d’oro e una d’argento.
Il giocatore sceglie una scatola. Qual è la probabilità che sia la scatola con due monete diverse? E’ 1/3.
Supponiamo che il giocatore prenda una moneta a caso dalla scatola scelta e che questa moneta sia d’oro. Dopo aver avuto questa informazione, qual è la probabilità che quella sia la scatola con due monete diverse?
Siccome le possibilità per la seconda moneta sono solo 2 (oro o argento), la probabilità sembra essere passata da 1/3 a 1/2.
Dov’é l’errore nel ragionamento?
Il problema dei tre prigionieri
Nel braccio della morte, tre prigionieri aspettano l’alba della fucilazione. In onore del compleanno del re uno dei tre sarà graziato e il guardiano sa chi dei tre avrà salva la vita, ma non lo vuole svelare.
Uno dei tre (chiamiamolo A), attanagliato dall’angoscia, gli dice: “Dato che uno solo dei tre sarà graziato, certamente uno degli altri due (B e C) dovrà morire. Se mi dici il nome di uno fra B e C destinato a morire domani all’alba, ti regalo il mio orologio d’oro. Tu non tradisci il segreto, perchè non sveli il graziato, e io avrò un po’ meno angoscia. “Il guardiano si fa convincere e svela: “B morirà”.
A dona il suo orologio alla guardia e si sente sollevato: Aveva il 33% di chance di salvarsi, ora restano solo lui e C, quindi le sua possibilità sono cresciute al 50%.
E’ corretto il suo ragionamento?
Curiosità
Il problema di Monty Hall è citato nel film 21. Kevin Spacey interpreta il professore Micky Rosa che pone il quesito. Jim Sturgess interpreta l’alunno Ben Campbell, che ovviamente dà la soluzione impiegando lo stesso tempo che un comune mortale impiegherebbe a fare un rutto (anche se siete Silvano Ciriello di Ovosodo, è comunque poco).
Il dilemma, inoltre, è stato “testato” nello show MythBusters. Oltre a verificarne la veridicità statistica con 49 tentativi, i conduttori hanno messo alla prova 20 concorrenti sottoponendoli al medesimo quiz. Inutile dire che tutti e 20 hanno mantenuto la scelta originale.
Conclusione
Il dilemma di Monty Hall è affascinante perché va contro l’intuito. Ho voluto fornirne diverse formulazioni non solo perché quella originaria è stata “sdoganata” dal cinema e dalla televisione, ma sopratutto per far vedere come un’impostazione diversa del problema sia sufficiente a mettere in difficoltà anche chi conosce la soluzione. Prendete tre carte, andate al bar, e scommettete come i peggiori bari. A meno che ci sia un matematico al tavolo, dovreste uscirne con i soldi e soprattutto con le dita integre!
Fonti: Wikipedia, The Monty Hall page, Base5
SELECT La Democrazia Impossibile: Arrow, Borda e Condorcet
Visto che l’economia vi ha un po’ stufato oggi volevo parlarvi di politica!
Ma visto che sulla Lega non si parla di politica… aggirerò il problema parlando di matematica e ti pareva.
Partimo quindi dall’ABC della matematica politica: il teorema di Arrow, la votazione di Borda e del paradosso di Condorcet.
Una piccola guida prima di iniziare, con Borda vedremo come, votado contro i propri interessi relativi, si può far prevalere il proprio interesse assoluto; con Condorcet analizzeremo perchè scelte reiterate o sottoinsemi di scelte influiscano sul risulato finale.
Infine con Arrow amplieremo il discorso mettendo insieme le 2 cose e osservando come sia possibile manipolare un sistema di voto democratico agendo con queste due leve.
La Votazione di Borda
Iniziamo dalla votazione di Borda.
Borda era un francese vissuto alla fine del 18° secolo, nel 1770 teorizzò la possibilità per i votanti di ottenere il risultato desiderato votando in parte contro i propri interessi.
Un bel esempio di teoria dei giochi ante litteram.
Vediamo il metodo da lui proposto nel dettaglio.
3 froloconi (A B e C) sono chiamati a dare una preferenza su 4 scelte politiche X, Y, Z, W.
Ognuno può dare un punteggio a una di queste scelte, la somma dei punteggi dichiarerà la scelta vincitrice.
Ecco come si presentano le cose:
Guardando la tabella, così a prima vista vincerebbe X, ma in realtà ogni votante potrebbe alterare la sua votazione al fine di far prevalere la sua scelta semplicemente modificando l’espressione della propria preferenza.
Ad esempio B (che preferisce di gran lunga W) dovrebbe dichiarare in fase di voto di preferire le scelte secondo questo punteggio 1 3 2 4, in questo modo trionferà W, sebbene in realtà B preferisca X a Y in fase di voto punterà Y in maniera tale da assicurarsi la vittoria di W.
La votazione di Borda in realtà presuppone una serie di condizioni difficilmente realizzabili in un contesto reale, però ha il pregio di evidenziare un concetto importante: a volte si può raggiungere un risultato migliore votando non in base ai nostri interessi ma agli interessi percepiti degli altri.
Un idea che ci servirà dopo.
Paradosso di Condorcet
Veniamo ora a Condorcet.
Il paradosso di Condorcet fu enunciato anche lui nel ’700 da un’altro francese.
Condorcet pose l’accento su un fattore interessante (che sta alla base del teorema di Arrow che arriverà solo 200 anni più tardi), ossia le scelte politiche possono risentire del fatto che la votazione venga ripetuta.
Ma diamo la parola direttamente a lui:
Cosa vediamo nella tabella?
Di nuovo i tre froloconi con le loro preferenze in fatto di partiti.
Questa volta viene chiesto loro di ordinarli secondo preferenza, così che, se un partito fosse escluso, il suo elettore voterebbe per la seconda scelta e così via (ad esempio il cittadino 1 voterebbe A, ma in mancanza di A voterebbe B).
Come si vede se votassero tutti assieme i tre partiti andrebbero alla pari.
Condorcet però dice: ipotizziamo che ci siano 2 tornate di votazioni e che poi i due partiti con più preferenze si sfidino nel rush finale (Ballottaggio? L’ho sentito dire solo io?).
Ipotizziamo che nella prima tornata il partito A sia killato, chi emergerebbe?
Emergerebbe B rispetto a C con 2 voti a 1.
Ipotizziamo ora sia killato B in prima battuta, chi vince?
Bhe il popolino affermerebbe che, senza ombra di dubbio C sia la scelta migliore (2 voti a 1)!
Ma se venisse eliminato C?
Devo proprio dirvi chi vincerebbe?
Ebbene incredibile, ora è A il sistema migliore.
Condorcet non si rese pienamente conto di quello che aveva scoperto (dopotutto era un nobilotto “e amme che cazzo me ne frega amme? io c’ho dio che mi ha dato il diritto a regnare”), ma puntava più che altro il dito sull’irrazionalità della cosa, ossia che B sia preferito a C, C sia preferito a A e poi A sia preferito a B (mentre dovrebbe essere che B > A visto che B > C e C > A).
Teorema di Arrow: Come funziona.
Forti di questi due presupposti (posso votare contro i miei interessi per avere un profitto maggiore e votazioni reiterate possono alterare il risultato) passiamo quindi all’artiglieria pesante: alzi la mano chi non ha mai sentito parlare del teorema di Arrow.
Immagino pochissimi, è il classico discorso che viene fuori quando si parla di politica al pub (o di skyrim a volte…).
Vediamo quindi di capirlo un po’ meglio.
Il teorema di Arrow fu enunciato nel lontano 1951 da tale Kenneth Arrow (di sicuro avrete già sentito parlare di lui durante il premio Nobel per l’economia nel 1972 (cit.)) e asserisce più o meno questo: è impossibile individuare l’interesse di un gruppo attraverso le preferenze dei suoi membri.
Wow e quindi?
Bhe quindi, ad esempio, in un sistema democratico, non si può capire quali siano le preferenze dei votanti guardando i loro voti.
Come è arrivato Arrow a questa considerazione esplosiva?
E’ un teorema, partiamo quindi dalle premesse:
1) Dominio universale e illimitato: significa che ognuno può votare quello che gli pare e piace e non ci sono limitazioni a priori sulla scelta.
2) Principio di Pareto debole: questo significa solamente che se gli individui preferiscono x a y allora l’opzione x è meglio dell’opzione y a livello sociale
3) Assenza di dittatori: non c’è qualcuno che possa indirizzare la scelta nonostante le scelte dei votanti
4) Indipendenza dalle alternative irrilevanti: significa che nella scelta fra due alternative “x” e “y”, sono rilevanti solo “x” e “y”, mentre non si prendono in considerazione la preferenza per altre coppie di alternative (ad esempio “x” e “z”).
In realtà a parte la storia del dittatore, il teorema funziona bene anche rilassando alcune ipotesi.
Detto da dove partiamo vediamo a dove arriviamo.
Richiamiamo i nostri 3 froloconi (A, B e C), questa volta possono scegliere tra 3 sistemi (X, Y e Z).
Ogni elettore ordina le sue scelte in base alle sue preferenze (un po’ come con Condorcet) vediamole qui sotto (c’è da dire che sti tre stronzi non sono mai d’accordo su nulla…):
Osserviamo la tabella.
Intanto possiamo vedere come le scelte dei tre elettori siano transitive, se io preferisco X a Y e Y a Z allora preferisco X a Z (e grazie di niente se no sarei anche un po’ cretino qualunquista).
Quindi possiamo facilmente vedere come, se si votasse in una tornata unica, le tre scelte sarebbero tutte alla pari.
Ma la scoperta di Arrow è la seguente, se non si votano tutte le opzioni insieme, l’opzione vincente non è determinata dal volere degli elettori ma solo in base all’ordine delle coppie tra cui si è chiamati a decidere ossia:
Se si vota prima tra X e Y (vince X) e poi tra X e Z emerge come scelta finale Z, infatti alla prima tornata passa X (2 voti a 1) nella seconda passa Z (2 voti a 1).
Se si vota prima tra X e Z (vince Z) e poi tra Z e Y emerge come scelta finale Y, infatti alla prima tornata passa Z (2 voti a 1) nella seconda passa Y (2 voti a 1).
Infine se si vota prima tra Y e Z (vince Y) e poi tra Y e X emerge come scelta finale X, infatti alla prima tornata passa Y (2 voti a 1) nella seconda passa X (2 voti a 1).
Che merda fregatura!
Quindi Arrow dimostra che, a parità di scelte individuali, il risultato finale può essere modificato radicalmente in base all’ordine delle opzioni proposte.
Teorema di Arrow: Implicazioni
Una delle implicazioni maggiori del teorema di Arrow è la possibilità di distorcere il risultato politico votando in prima battuta contro il proprio interesse (come profetizzava Borda).
Tiriamo fuori la buona vecchia Teoria dei Giochi e proviamo un caso reale: elezioni USA 2012.
Agli elettori è chiesto di scegliere tra una coppia di sfidanti repubblicani e quindi tra il vincente e l’uscente presidente democratico.
Ipotizziamo di chiamare X “Santorum” Y “Romney” e Z “Obama”.
L’elettore A è il classico redneck ignorante e fascistoide: vuole Santorum perchè così “dio impedirà alle donne di abortire e ai gay di andare in paradiso yeeeeeah”.
L’elettore B è il repubblicano moderato “voglio meno tasse! messicani a casa loro! USA! USA! USA!”
L’elettore C è il democratico moderato “Sanità per tutti, redistribuzione dei redditi, pari opportunità per le minoranze”.
Arrivano le primarie repubblicane, è chiesto di scegliere tra X e Y, ovviamente A vota X e B vota Y.
Tutto bene… ma che fa C? Trolla pesantemente e vota X.
Questa cosa sembrerebbe non aver senso ma non è così.
C sa bene che poi Y cederebbe in una sfida con Z, perchè B preferisce comunque un negro dotato di buon senso (Z > X) a un invasato borderline con la possessione religiosa.
Ed ecco che quindi vota X assicurandosi la vittoria di Z.
Il vantaggio di questa scelta è che è a costo 0.
Nel senso, se io sono con il gruppo vincente (in questo caso i democratici) mi conviene votare il peggio del peggio nelle primarie avversarie, questo mi da nel migliore dei casi un vantaggio (se esce il candidato meno presentabile ho più probabilità che nella seconda tornata vinca il mio candidato) e nel peggiore dei casi nessun danno (anche se nonostante il mio voto vincesse il migliore degli avversari, questo non influirebbe negativamente il mio successivo voto, in quanto io comunque voterei democratico e gli altri repubblicano).
Di conseguenza mi trovo nella situazione in cui ben che vada ho distorto il sistema a mio favore, mal che vada avremo un’elezione corretta come dovrebbe avvenire già di suo.
Va da se che in una situazione del genere non serve la teoria dei giochi per capire a chi andrà il voto di C…
Questo ragionamento si può declinare in qualunque ambito in cui le scelte vengono analizzate in sotto-insiemi, Arrow ci dice che la decisione finale è influenzata dall’ordine di scelta e che quindi è possibile distorcere il sistema, la teoria dei giochi che è conveniente farlo.
Conclusioni
Il Teorema di Arrow, il paradosso di Condorcet e la votazione di Borda ci danno un importante lezione: i francesi cercano sempre il modo di buttartelo nel culo i sistemi di voto democratici possono essere distorti e il risultato finale può non rispecchiare i desideri dei votanti.
Mentre Condorcet amava il paradosso e Borda in realtà si basava su delle ipotesi difficilmente realizzabili (la perfetta conoscenza delle preferenze di tutti e il fatto che io solo possa cambiare il mio voto), Arrow è molto più lato e per questo motivo molto più applicabile alla realtà, superando ad esempio i limiti di Borda di perfetta conoscenza soprattutto se le scelte sono poche (uno dei limiti, a mio avviso molto forti, del bipolarismo).
Ci sono stati durante gli anni ’70 una serie di tentativi di superare il teorema di Arrow (Rawls, Nozick e da ultimo Sen), la maggior parte di essi puntano alla gestione del risultato DOPO il voto.
Ossia, visto che sappiamo che i voto si può distorcere, un sistema democratico deve comunque tener conto dell’utilità sociale delle scelte prese dagli elettori (Nozick).
Stringendo: ogni scelta deve garantire comunque che il massimo livello di libertà di coloro che non l’hanno condivisa sia comunque rispettato o per dirla con un aforisma, il livello di una democrazia si misura dal modo in cui tratta coloro che ne sono esclusi.
Churchill affermava che la democrazia fosse la peggior forma di governo al di fuori di tutte quelle già tentate precedentemente, e, nonostante tutto, io sono convinto che avesse ragione (o meglio, sono per una monarchia illuminata ma sappiamo bene che tutti vogliono fare i monarchi e nessuno l’illuminato…), il che però non esclude che essa sia passabile di distorsioni, distorsioni che si devono conoscere se si vogliono evitare.
Di qui in poi però il discorso diventa etico e non più matematico, quanto è giusto sfruttare le mancanze di un sistema? Bisognerebbe essere puniti per questo? (vi stupireste di quanto sia facile sfruttare il teorema di Arrow a proprio vantaggio quando c’è da decidere su qualcosa e si è in minoranza relativa…).
Ma queste obiezioni e le relative risposte le lascio ai filosofi e a chi ne sa più di me 
Sono appisolato nei commenti ma svegliatemi pure, soprattutto se ci sono parti non chiare o se c’è qualcuno che vuole darmi il suo parere al di la della matematica.
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