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Finanza: i Tassi di Interesse

di perymgael 19—Gen—2013 / 11:09 AM

Che voi prendiate in prestito dei soldi o andiate in banca per investirli c’è sempre qualcuno che presta i soldi e qualcuno che li prende in prestito. La banca fa solo da intermediario e mangia sulla differenza dei tassi

Esempio

Caio chiede in prestito 1.000€ e la banca offre un interesse passivo del 10%, Tizio mette in banca 1.000€ e chiede di investirli. La banca prende i 1000€ li da a Caio e offre a Tizio il 5% di interessi. La banca vince 50€.

L’esempio di sopra è moooolto esempliicativo, ma è come funziona in parole povere. Su questa base di logica semplice, il mondo della finanza del risparmio è riuscito a costruirci un impero e a produrre soldi con un ritmo impressionante.

Tasso di interesse: Capitalizzazione

Il tasso di interesse è quella cosa che rende un capitale fruttifero. Chi decide di non spendere i soldi oggi, ma li investe per riaverli domani, non si accontenterà mai di riavere la stessa cifra, ma esigerà un pagamento per l’aver bloccato una somma di denaro per un dato periodo: questo pagamento è l’interesse.

I tassi di interesse si dividono in Nominale e Effettivo.
Il tasso nominale è quello che ogni banca vi mette in bella vista al momento di dirvi quanto dovete pagarla o quanto dovrete ricevere da un investimento; Il tasso effettivo è, invece quanto effettivamente dovrete pagare (NB: da questa trattazione viene escluso il TAEG che altri non è che il tasso effettivo comprensivo delle spese fisse burocratiche).

Tutto dipende dal tipo di capitalizazzione associata al tasso di interesse

Questi due elementi, il tasso nominale e quello effettivo, sono interconnessi da una banalissima formula matematica e tutto dipende dal tipo di capitalizzazione associata al tasso di interesse; gli interessi possono infatti essere:

Tasso di Interesse a Capitalizzazone Semplice
Tasso di Interesse a Capitalizzazione Composta

Ma cosa è effettivamente la capitalizzazione dell’interesse?

La capitalizzazione è il momento in cui la banca calcola gli interessi.

La capitalizzazione è il momento in cui la banca calcola gli interessi; calcolare gli interessi non significa prendere effettivamente i soldi, ma vuol dire semplicemente calcolarli e renderli denaro da sborsare al creditore o da esigere dal debitore.

Tasso di Interesse a Capitalizzazione semplice:

come spiegava @GiuliaRocker87 nel suo articolo, è il calcolo degli interessi sul capitale

Investite 100.000€ che vi rendono 5% al mese. Significa che ogni mese voi prendete 5.000€ sino al termine dell’investimento. Niente trucchi e niente inganni.

Formula = C + C * ( i * t ) = C * ( 1 + i * t )
Alla fine riprenderete il capitale versato più l’interesse ( i ) rispetto al capitale ( C ) per un periodo di tempo in anni ( t )

Tasso di Interesse a Capitalizzazione composta:
gli interessi maturati vengono inclusi nel calcolo della quota.

Investite 100.000€ che vi rendono 5% al mese. Significa che il primo mese guadagnate 5.000€ che vengono reinvestititi automaticamente. Il secondo mese guadagnate il 5% su 105.000€ e li reinvestite. Il terzo mese guadagnate il 5% su 110.250€ e così via.

Formula = un po’ complicata e per capirla basta pensare alle bambole russe (o cinesi non ricordo): provate a spostarvi nell’ultimo periodo, poco prima di ricevere la vostra quota indietro; succede che il capitale (o per meglio distinguerlo viene chiamato montante), su cui viene calcolata l’ultima rata, è composto dal capitale iniziale e da tutti i vari interessi.

Il montante dell’ultimo periodo è, quindi, composto dal montante del periodo -1 moltiplicato per ( 1 + i ). Il montante del periodo -1 è composto dal montante del periodo -2 moltiplicato per ( 1 + i ) e così via, sino ad arrivare ad un formulone enorme che si può riassumere così: C * ( 1 + i ) ˆ t

E ora un bell’sempio sui 100.000€ al 5% annuo di interessi per 10 anni

Capitalizzazione Semplice:
Formula = C * (1+i*t) = 100.000*(1+0,05*10) = 100.000*1,5 = 150.000€
Capitalizzazione Composta:
Formula = C*(1+i)ˆt= 100.000*(1,05)ˆ10 = 100.000*1,6289 = 162.890€

La capitalizzazione composta implica un guadagno (o esborso) maggiore rispetto alla capitalizzazione semplice

Come potete notare una capitalizzazione composta implica un guadagno (o esborso se si tratta di un prestito) maggiore rispetto alla capitalizzazione semplice, proprio perché la somma finale viene calcolata contando anche tutti gli interessi.

Nel caso di un debito però, in Italia, data l’illegalità delle pratiche di anatocismo, l’accumulo e il ricalcolo degli interessi viene mascherato dal decurtamento della rata dal capitale residuo.

Il tasso di interesse a capitalizzazione composta ha poi delle varianti particolari che mostrano come in base al periodo di capitalizzazione (lasso di tempo al termine del quale la banca calcola gli interessi), il risultato finale cambia.

Il tasso composto infatti può essere calcolato sia se la capitalizzazione è annuale, sia che sia inferiore (mensile, bimensile, trimestrale, semestrale,…)

La formula da utilizzare è C * ( 1 + i / m ) ˆ ( m * t ). Se al posto di m inseriamo il valore 1, otteniamo la formula del tasso di interesse a capitalizzazione composta visto precedentemente, che a rigor di logica, viene calcolato su un lasso di tempo annuale.

“m” è la frequenza della capitalizzazione

m è la frequenza della capitalizzazione: m pari a 6 implica che gli interessi vengono capitalizzati 6 volte in un anno e quindi ogni due mesi.

Vediamo alcuni esempi considerando i dati di prima: 100.000€ al 5% per 10 anni

m = 1 –> 100.000 * ( 1 + 0.05 / 1) ˆ ( 1 * 10 ) = 100.000 * 1,6289 = 162.890€
m = 2 –> 100.000 * ( 1 + 0.05 / 2) ˆ ( 2 * 10 ) = 100.000 * 1,6386 = 163.860€
m = 3 –> 100.000 * ( 1 + 0.05 / 3) ˆ ( 3 * 10 ) = 100.000 * 1,6419 = 164.190€
m = 4 –> 100.000 * ( 1 + 0.05 / 4) ˆ ( 4 * 10 ) = 100.000 * 1,6436 = 164.360€
m = 6 –> 100.000 * ( 1 + 0.05 / 6) ˆ ( 6 * 10 ) = 100.000 * 1,6453 = 164.530€
m = 12 –> 100.000 * ( 1 + 0.05 / 12) ˆ ( 12 * 10 ) = 100.000 * 1,6470 = 164.700€

Scoperto il trucco: più è grande m, quindi più è frequente la capitalizzazione, più sono i soldi maturati dal capitale o viceversa, nel caso di un debito, più sono gli interessi che dovrete restituire.

Tasso di Interesse a Capitalizzazione continua:
all’estremita di tutto c’è la capitalizzazione continua, un sottogruppo di quella composta, ma su base istantanea… si, avete capito bene: l’interesse viene calcolato ogni singolo istante. Il calcolo e l’esempio sarebbero un po’ lunghi da fare.. quindi vi scrivo solo la formula:

Formula = C * ( e ) ˆ ( i * t )
e = numero di Eulero (o di Nepero) ≈ 2,72
i = tasso di interesse

m = ∞ –> 100.000*2,72ˆ(0,05*10) = 100.000*1,6487 = 164.870€

Tasso di Interesse: Nominale vs. Effettivo

A questo punto abbiamo tutti gli elementi in mano per comprendere quale sia la differenza tra tasso di interesse Nominale e tasso di interesse Effettivo.

Se la capitalizzazione è semplice (vedi sopra), il tasso nominale è identico a quello effettivo; ma se la capitalizzazione è composta (vedi sopra) è necessario utilizzare una formula su base annuale, per capire quale sia il vero tasso di interesse:

TassoE = [ ( 1 + TassoN / m ) ˆ m ] – 1 – per la capitalizzazione composta non istantanea
TassoE = [ ( e ) ˆ ( i ) ] – 1 – per la capitalizzazione composta istantanea

Ecco a voi l’esempio del piffero:

Diciamo che @Itomi (sono stato via dalla Lega per un po’ di tempo e non so se ha ancora la Gallardo), vuole cambiare macchina e va in banca a chiedere 500.000€ (non si può sostituire una Gallardo con una Panda… no?). Tutto tranzollo si avvicina al direttore e questi propone di prestargli i soldi richiesti ad un tasso di interesse nominale del 5% per 20 lunghi ~~fottuti~~ anni, con capitalizzazione mensile. Una rata mensile di 1.280€ per 20 anni.

La banca vuole più del dovuto…brutti sanguisughe complottisti, massoni e signori del signoraggio.

Al capo sembra un buon affare e va a casa. Arrivato nella grotta comincia a rimuginare, prende la sua calcolatrice galattica e scrive:

500.000 / 20 = 25.000€ ogni anno più il 5% di itneressi = 1.250€. Da dove catzo salta fuori 1.280€?! perché il boss deve pagare 30€ in più?! ~~Senti, ti compri una macchina da 500.000€ non rompere le scatole per 30 miseri euro!!!~~

In realtà il 5% è solo il tasso nominale, quello effettivo è leggermente diverso; utilizziamo la nostra formula e verifichiamo:

per iniziare calcoliamo m. La capitalizzazione è mensile, cioé ogni tre mesi di un anno la banca calcola gli interessi. Il che significa che in un anno abbiamo 12 capitalizzazioni. m = 12.
poi sostituiamo nella formula:
TassoE = [ ( 1 + TassoN / m ) ˆ m ] – 1 = [( 1 + 0,05/12 )ˆ12 ] – 1 = 0,0512 = 5,12%
A questo punto eseguiamo il calcolo di Itomi ma con il nuovo tasso di interesse:
500.000 / 20 = 25.000 * 0,0512 = 1.280€ all’anno per 20 anni.
Anziché pagare 26.250€ annui ( = 525.000€ totali ), dovrà pagarne 26.280€ ( = 525.600€ totali )

Tasso di Interesse: Reale

Come mi è stato fatto notare da @gurroz, ho erroneamente utilizzato il termine Reale al posto di Effettivo (tranquilli, già corretto). L’errore sta nel fatto che i due termini hanno una connotazione simile e spesso mi confondo, ma dal punto di vista degli interessi descrivo due elementi leggermente diversi:

il tasso effettivo, come abbiamo visto prima, è calcolato in base alla capitalizzazione e, quindi, in base a quando pagate o vengono calcolati gli interessi
il tasso reale, non è nient’altro che il tasso nominale decurtato da ciò che tutti conosciamo bene e che si chiama inflazione, quell’elemento che fa crescere i prezzi.

Inflazione:

è quella condizione che comporta un aumento dei prezzi in un’economia (si parla di deflazione se i prezzi diminuiscono). L’inflazione può essere strumento di controllo di un economia e può essere modificata tramite mirate strategie: ad esempio l’immissione di moneta in una economia nazionale.

L’inflazione rende meno importante il vostro denaro ed è un concetto molto difficile da spiegare perché è uno dei fattori che aumenta il prezzo dei beni, ma non l’unico: a volte infatti, entrano in gioco alcuni elementi, come la tecnologia, che abbassano i prezzi ed annullano l’effetto inflazione (ma questo è argomento di altra discussione).

Vostro padre nel 2001 vi ha concesso 10€ di paghetta a settimana. Se voi aveste speso tutto in goleador (stica!!!) avreste notato che mentre nel 2001 compravate 20 goleador (0,50€ l’una), ora, nel 2013, ne potrete acquistare solo 16 (0,625€ l’una).

Se non sono intervenuti altri fattori, possiamo dire che i vostri 10€ comprano il 20% di roba in meno rispetto a 12 anni fa.
oppure possiamo dire che, fermo restando che voi volete comprare 20 goleador a settimana, nel 2001 avreste avuto bisogno di 10€, mentre oggi nel 2013, al costo di 0,625€ l’una avrete bisogno di 12,50€, il 25% in più (=valore dell’inflazione su 12 anni)

Dato che l’inflazione è un cambiamento dei prezzi, la sua forma più semplice è la seguente:

i = (P1 – P0) / P0
P0 = il prezzo di un bene nell’anno 0 di riferimento.
P1 = il prezzo di un bene nell’anno in cui si vuole calcolare il cambiamento

es.: Pere = 2€ al kilo nel 2010; Pere = 2,50€ al kilo nel 2012
i = (2,50 – 2,00) / 2,00 = 0,50 / 2,00 = 1/4 = 0,25 = 25% tra il 2010 e il 2012

Bene, l’inflazione influenza il tasso nominale e lo trasforma in tasso reale; noi possiamo calcolarlo usando questa formula:

Formula Tasso Reale = [ ( 1 + TassoN ) / ( 1 + i ) ] – 1
Formula Becera/Semplice e approssimativa = TassoN – i
TassoN = al tasso nominale
i = tasso di inflazione (o scarto dei prezzi)

Ad esempio, prendiamo il nostro bel 5% sui 100.000€ e diciamo che l’inflazione dell’ultimo anno è stata del 2%; il tasso di interesse reale ( o tasso di interesse nominale reale, proprio perché è il tasso nominale mascherato ) è:

TassoR = [( 1 + TassoN ) / ( 1 + i )] – 1 = [(1.05) / (1.02)]-1 = 0,0294 = 2,94%
TassoR becero = TassoN – i = 0,05 – 0,02 = 0,03 = 3%

L’inflazione denota il potere di acquisto della moneta o meglio il suo andamento.

A questo punto fate un secondo di attenzione: l’inflazione non vi fa diminuire il valore nominale di un vostro rendimento o di una vostra spesa; l’inflazione denota il potere di acquisto della moneta o meglio il suo andamento. Questo significa che se voi investite 100.000€ al 5% annuo ed effettivo, al 31 dicembre dovreste prendere 5.000€. Se nel corso dell’investimento vi è stato un aumento dell’inflazione e i prezzi sono saliti del 2%, voi con 5.000€ del 1 gennaio potrete comprare meno roba al 31 dicembre.

Esempi:

investite per un anno 100.000€ al 5% annuo. A fine investimento dovreste ricevere 105.000€ (la somma investita più gli interessi). Secondo i vostri calcoli, se con 100.000€ potete comprare 160.000 goleador (=0,625€ l’una), a fine anno, con 5.000€ in più, ne potreste prendere 168.000. Però, il prezzo delle goleador è aumentato (inflazione dal 2%) e questo vi costringe a poter comprare solo 164.705 goleador (=0,6375€ l’una) più di quante ne potevate avere ad inizio anno, ma meno di quanto ve ne aspettavate.
Quanto è stato il guadagno reale in percentuale? 164.705 – 160.000 = 4.705 goleador; che sono esattamente il 2,94% (=4.705/160.000) visto prima.
prendete in prestito 100.000€ oggi, la banca vi chiederà domani qualcosa che oggi vale 100.000€ (facciamo finta che non vogliono gli interessi). Ipotizzate che la banca non rivoglia indietro il denaro, ma vi chieda di rimborsarla in goleador. La banca stima che a 0,625€ l’una, dovreste darle 160.000 goleador alla fine dell’anno. Fra un anno però, il prezzo delle Goleador salirà del 2% per un totale di 0,6375€ e voi dovrete spendere 0,6375 * 160.000 = 102.000€ per comprare 160.000 goleador e restituire il prestito.

Domande

@Ghiacciolo: perché nella capitalizzazione semplice il tasso nominale e il tasso effettivo sono uguali?

È tutta una questione di punti di riferimento. Una distinzione fondamentale tra capitalizzazione semplice e composta è l’uso degli interessi passati per calcolare quelli futuri.

Tu immagina che una banca ti chieda di scegliere una cifra iniziale e ti conceda di investire almeno lo stesso valore di anno in anno per un numero massimo di anni; questa banca ti da indietro, alla fine di ogni anno tutto quello che hai investito più gli interessi e, al 1 gennaio dell’anno dopo, ti fa reinvestire alla stesse condizioni contrattuali. Cosa succede?

Nel momento in cui reinvesti puoi scegliere se investire lo stesso capitale dell’anno prima e tenerti gli interessi (capitalizzazione semplice) oppure investire tutto il denaro che ti è stato dato, compresi gli interessi (capitalizzazione composta).

esempio:
tempo = 2 anni – capitale iniziale = 100.000€ – interesse nominale = 5%

Anno 1: Investo 100.000€ e guadagno il 5%, cioé 5.000€
Anno 2 : Il tasso di investimento non cambia (5%)
– caso A: mi tengo gli interessi ed investo nuovamente 100.000€; guadagno 5.000€;
– caso B: investo tutti i 105.000€; guadagno 5.250€;
nel caso A (semplice) io guadagno il 5% rispetto al capitale investito in quell’istante, che, però, è anche il 5% rispetto al capitale iniziale. Tasso nominale ed effettivo coincidono; nel caso B (composta) io guadagno il 5% rispetto al capitale investito in quell’istante, che, però, è pari al 5,25% rispetto al capitale iniziale; Tasso nominale ed effettivo non coincidono.

Nessuna banca ti farà fare una cosa del genere ed eventualmente lo farebbe con tassi irrisori. Questo era solo un esempio, la capitalizzazione semplice o composta si sceglie, se lo si può fare, all’inizio dell’investimento che di solito dura poi alcuni, se non molti anni. Le formule servono a trovare quanto effettivamente si guadagna, dato un tasso nominale, rispetto al capitale iniziale investito.

Conclusione

Dal primo paragrafo abbiamo visto cos’è la capitalizzazione e come questa influenzi in maniera considerevole il tasso di interesse che vi viene proposto dalle agenzie finanziarie. Abbiamo sottolineato la differenza tra capitalizzazione semplice, composta e continua;

Dal secondo paragrafo è venuta fuori, proprio grazie alla capitalizzazione, la differenza tra il tasso nominale e il tasso effettivo.

Nell’ultimo paragrafo abbiamo visto l’inflazione e come questa influisca sui tassi di interesse.

Spero che il discorso non fosse noioso e la comprensione non sia stata lenta e difficile.

Il mio consiglio è quello di fare sempre attenzione al tasso effettivo e al periodo di capitalizzazione. Ora (tornando all’esempio sulla gallardo), 600€ su 500.000€ di prestito sembrano pochi, ma provate a fare il calcolo sui tassi nominali di qualche anno fa al 9% o al 10%; comincia ad essere una cifra importante anche su capitali bassi.

Il tasso di inflazione è molto importante, ma non dateci troppo peso. La formula che vi ho postato è quella corretta, ma anche quella becera può essere utilizzata; come avete notato dal 2,94% al 3% l’errore è accettabile.

PerymGael