Fotoni pigri
Va premesso che per motivare il fenomeno che stiamo per analizzare ci si può poggiare su almeno tre diversi teoremi/principi della fisica. La cosa suggerirebbe l’esistenza di una verità più profonda alla base, che personalmente però mi sfugge, il che mi rende, ahimè, una persona più colta che intelligente. Ma andiamo avanti :)
Il fenomeno
Per i più noob della fisica, o per chi avesse avuto di meglio da fare mentre la professoressa del liceo spiegava l’argomento, ecco un piccolo riassunto. I più bravi possono pure risparmiarsi i 2 due minuti di noia intrappolati nel more qua sotto :)
[more]Se spariamo una mitragliata di fotoni (leggi proiettiamo un laser) su una lastra di vetro vedremo la traiettoria composta da una linea retta che si biforca in corrispondenza dell’impatto con il cristallo. Ciò accade sia in entrata del raggio che in uscita, ed è su quest’ultima che ci concentreremo.
Lo si capisce meglio dall’immagine che a parole.
Il tutto è regolato da due semplici leggi che ci esprimono gli angoli riflessione e di rifrazione in funzione di quello di incidenza:
Q1 = Q2
sen(Qi) / sen(Qr) = v2 / v1
Dove v1 e v2 sono le velocità della luce nei due dei mezzi in cui si propaga il fascio.
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Dunque ora sappiamo che la rifrazione e la riflessione sono regolate da due leggi. Non ci servirà addentrarci nei particolari.
La traiettoria di minima azione
Supponiamo di essere su una spiaggia, in compagnia di altre persone. È quasi sera e sulla spiaggia sono rimasti solo due gelatai. Sembrano conoscersi, forse sono amici, strano per due concorrenti come loro. Si guardano attorno circospetti.
All’improvviso li vediamo camminare con una cassetta di sicurezza in mano verso una barca. Ci salgono e remano fino ad una boa, alla quale fissano la cassetta per poi dileguarsi in fretta.
La situazione è chiara da subito.
In mare, legato ad una boa al largo, c’è un tesoro. Noi però siamo sulla spiaggia, distanti da riva, e con noi ci sono altre persone.
Da bravi nerd, sappiamo che, poiché una persona nuota più lentamente di quanto corre, la via più rapida non è quella dritta da noi alla boa.
Quindi, mentre i nostri amici si sono già lanciati nella corsa, noi recuperiamo una matita e sul retro di una schedina del totocalcio cominciamo a calcolarci la “traiettoria di minima azione” (quella che minimizza il tempo impiegato a raggiungere la boa).
Non sono conti difficili, per lo più è geometria, ma richiedono il loro tempo.
Venti minuti dopo, giungiamo alla soluzione, e, mentre i nostri amici ci sfottono con il tesoro in mano con battute del tipo: ”Hahaha, che pirla, la giocata peggiore di sempre! Su quella schedina ti sei perso più di 400 euro!”, noi non li badiamo perchè la formula appena trovata ci ricorda qualcosa, qualcosa che non dovrebbe centrare affatto:
La legge che ci fornisce la condizione di minima azione è la stessa che regola la rifrazione!
Principio di Fermat
Fra i tre principi che citavo c’è anche quello di Fermat.
Esso recita:
Per un sistema scleronomo isolato la traiettoria è attraversata nel tempo in modo estremale
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Che, in linguaggio umano, significa: un certo sistema evolve minimizzando la propria azione.
Dai conti che avevamo fatto prima in spiaggia possiamo quindi dedurre che la luce nei fenomeni ottici considerati, obbedisce a questo principio. Sia per quanto riguarda la rifrazione che la riflessione.
[more] Nel caso della riflessione basta considerare il tesoro sulla spiaggia anziché in mare e imporre di toccare almeno in un punto il bagnasciuga (analogamente alla luce che impatta sul vetro). La traiettoria minimizzante sarà quella che soddisfa Q1 = Q2. [/more].
Conclusione
Cosa significa tutto questo? In parole povere che i fotoni sono particelle notoriamente molto pigre e se riuscite a convincerne uno a spostarsi dal punto A al punto B, state sicuri che la traiettoria che ha percorso è quella che richiede il minor tempo (quella di minima azione appunto).
Non sempre la traiettoria di minima azione è rettilinea. Come alcuni già sapranno, la luce risente della forza gravitazionale che ne curva la traiettoria (l’effetto che genera le famose lenti gravitazionali), ergo, poichè la luce si muove sempre lungo una traiettoria di minima azione, anche quest’ultima può essere curva.
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Quando si va però a guardare il caso quantistico, le particelle possono seguire diverse traiettorie, ognuna con una sua precisa probabilità, che dipende dall’azione della traiettoria stessa.
La traiettoria che minimizza l’azione sarà quella con la probabilità più alta, ma le altre non possono essere trascurate e si può dimostrare sperimentalmente che vengono percorse. Questo però avviene soltanto nel mondo dell’infinitamente piccolo, nei casi classici, come quelli presentati in questo articolo, le traiettorie che non minimizzano l’azione hanno probabilità nulla.
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