La Democrazia Impossibile: Shapley

Avviso che sarà un post con un po’ di matematica, cercherò comunque di esemplificare al massimo.

Teoria

Il teorema di Shapley appartiene quella branca della teoria dei giochi detta dei “giochi cooperativi”, ossia quelle situazioni in cui la cooperazione tra gli attori coinvolti porta a un beneficio che, nel caso questa cooperazione venisse meno, non sarebbe raggiunto.

Shapley analizza i payoff, ossia come andrebbe ripartito il premio finale in base a coloro che concorrono per raggiungerlo.

Coefficiente di Shapley: in Numeri

Questo è il teorema:

Per chi è feticista della simbologia come me:

ϕi(v) rappresenta la parte di premio da pagare al partecipante i

N è il totale dei partecipanti

P è la combinazione di partecipanti scelta

La i è l’i-esimo partecipante.

Quindi cosa ci dice la sbrodolata li sopra?
Semplicemente che ogni combinazione che comprenda o meno un certo numero di giocatori (nello specifico i giocatori che precedono il giocatore i nell’ordinamento R scelto) dà, al player i, un certo payoff identificato da ϕi(v)

Questa è la formula teorica, in realtà vi è anche una versione esplicita (che io preferisco) usata fattualmente nel caso si dovessero fare dei calcoli, eccola qua:

S sono le sotto-combinazioni di N che non contengono i e la sbrodolata a destra della frazione rappresenta la differenza di vantaggio tra collaborare con i o meno.

Quindi in pratica entrambe le notazioni portano alla stessa cosa ossia quanto dovrebbe ricevere del premio finale il partecipante i nel caso tal premio venga effettivamente guadagnato tramite una collaborazione ?
Il payoff totae può assumere valori diversi ma, di solito, nei casi pratici si limita a 2 valori di cui uno nullo (come vedremo nell’esempio).

Il Coefficente di Shapley: a Parole

Il teorema di Shapley è una di quelle notazioni molto belle ma estremamente complesse da usare nel pratico.
Anche chi non è un matematico avrà notato i (!) che hanno la brutta caratteristica di far esplodere letteralmente i casi da analizzare appena ci si allontana un pochetto dai numeri bassi, già con 10 astanti calcolare tutti i 3,6 milioni di casi possibili inizia a diventare complesso, con 20… come diceva il mio professore di ricerca operativa “fate prima fare a caso che valutare 2,5 miliardi di miliardi di possibilità”, senza contare che il conteggio si complica ancora se il payoff non è di tipo 0,1 ma ha una serie di valori scalari.

Consideriamo quindi il caso più semplice ossia il payoff è di tipo 0,1 (ossia o si vince una cifra fissa o non si vince un tubero).
Utilizzo questo esempio per 2 motivi, il primo è che è il più semplice ma anche il più comune, il secondo perché è quello che poi si avvicina di più alla politica (che il punto a cui voglio arrivare).

Ipotizziamo che ci siano 4 investitori (N = 4), ognuno di loro può mettere un certo capitale per edificare un palazzo, queste persone hanno disponibilità diverse e nessuna di loro è in grado da solo di avere abbastanza soldi per sostenere tutte le spese di costruzione, per comodità stabiliamo che il prezzo di ingresso sia nullo, volendo potremmo anche dire che, per partecipare alla pre-selezione ci sia da pagare una tassa (come vedremo succede in politica) ma, per ora, non complichiamoci la vita.

Gli investitori hanno le seguenti disponibilità:

A 180
B 160
C 40
D 20

Per costruire il palazzo ci vogliono 220 soldi e poi ci si aspetta un ritorno di 500 soldi.
Va da se che se non si mettono assieme 220 soldi nessuno vince nulla.

Vediamo le combinazioni che portano al payoff (ossia alla costruzione del palazzo).
1) A + B
2) A + C
3) A + B + C
4) A + B + D
5) A + C + D
6) B + C + D

(ok l’esempio l’ho inventato io e l’ho fatto apposta per non fare troppi calcoli perché sono pigro :P).

Quale è il valore di Shapley per ogni player?
Prendiamo la formula e calcoliamolo (Nota: per chi vuole saltarsi questa parte può passare al prossimo paragrafo dove analizzo i risultati).
In pratica dobbiamo calcolare quante volte un player è determinante nei possibili sottogruppi rispetto ai possibili sottogruppi totali, ad esempio A è necessario 5 volte (se non c’è lui ogni combinazione a parte l’ultima fallisce), mentre B è necessario 3 volte ( nella 1, 4 e 6, nella 3 non è determinante perchè anche se non ci fosse basterebbero A e C )

A = [(((4 – 2)! * (2 – 1)!) / 4!) * 500]*2 + [(((4 – 3)! * (3 – 1)!) / 4!) * 500]*3 = 208.33

B = (salto i calcoli tanto ormai li avete capiti) = 125

C = 125

D = 41.67

A ha il valore di Shapley più alto in quanto è in grado di far raggiungere l’obiettivo (investire 220) e quindi vincere il payoff (500) sia a due collaborazione di 2 persone (con B o con C) che a tre collaborazioni di 3 persone (con B e C, B e D, C e D).

A seguire a pari merito ci sono sia B che C nonostante la grande differenza di margine investito entrambe fanno vincere lo stesso numero di coalizioni (tre a testa, considerate sempre che la coalizione 3) non conta tranne che per A).

Da ultimo c’è D che è utile solo in una singola collaborazione di 3 persone (con B e C), in tutti gli altri casi è superfluo.

Coefficente di Shapley: a cosa serve?

Bene, cazzo ce ne facciamo perché abbiamo calcolato tutta sta sbrodolata?
Perché il coefficiente di Shapley rappresenta la quantità di payoff che ogni players ha diritto in virtù della sua capacità di farlo vincere, i più attenti avranno notato che questa non è altro che una formula di ripartizione a gruppi, infatti se sommate i vari valori di Shapley ottenete 500 che è appunto il payoff.
Questo rappresenta anche il potere di ogni player ossia quanto è necessario agli altri e quindi quanto sarà ricercato o blandito affinché scelga l’una o l’altra coalizione.
Ad esempio A sarà il più corteggiato (tutti gli altri cercheranno di farlo entrare nel loro gruppo) il che ha senso però ad esempio C sarà corteggiato come B, nonostante l’apporto di C al totale sia molto più basso di quello di B.
Quindi considerato un payoff finale di 500 non è che se A e B formano il gruppo poi se lo smezzeranno 250 a uno e 250 all’altro primo perché A ci mette più soldo (e fin li siamo tutti d’accordo) e secondo perché B sa di avere lo stesso potere contrattuale di C con la differenza che C investe molto meno, se sono in due (lui e A) con circa lo stesso investimento magari mangerà una fetta più gradevole, ma se sono in tre sarà C a dominare a causa dello scarso investimento.
In questa situazione C sarebbe motivato a far fallire l’accordo tra A e B e puntare a un accordo a 3, questo perché sugli accordi a due A domina (necessario 2 volte contro le 1 volte d C e di B) e inoltre se si arrivasse all’accordo A + C il povero C sarebbe in netta minoranza di investimento quindi A potrebbe fare la voce grossa, mentre negli accordi a 3 non solo il potere di A declina (necessario 3 volte contro le 2 di B e di C) ma l’apporto di C sarebbe più proporzionale.
D invece è in coda, anche se l’apporto di D non è molto minore di quello di C, D quindi cercherà in tutti i modi di far fallire coalizioni a due per avere almeno una chance di successo.

Shapley e la Politica

Cosa c’entra il teorema di Shapley con la politica?
Bhe dai, ci siamo arrivati tutti: al posto degli investitori mettete i partiti, al posto del payoff mettete il governare e al posto dei soldi investibili mettete i voti.
Con la differenza che, mentre nell’esempio precedente qualche player potrebbe trovare più conveniente non giocare (non vi è costo di ingresso da recuperare), in politica tutti i partiti giocano e poi, in base ai voti raccolti, si possono accordare per avere la maggioranza e quindi il payoff.
Consideriamo inoltre che Shapley parte dal presupposto che tutte le coalizioni sono possibili, in politica non è così, ci sono schieramenti ideologici che bloccano alcune combinazioni di players restringendo le scelte possibili e dando quindi un potere contrattuale maggiore anche a partiti più piccoli: se a me mancano 5 seggi per la maggioranza e un partito del mio blocco ideologico ne ha 3 e un altro 4 mentre uno dello schieramento opposto ne ha 30 io sarò comunque costretto a prendermi il 3 e il 4 per motivi ideologici e scartare il 30.

Il conto che si paga per la coalizione è in prima battuta misurabile (ad esempio spartirsi i seggi del premio di maggioranza) ma in seconda battuta molto più sottile, si tratta di convincere un partito a venire con noi e per farlo bisogna fare concessioni.
Non dimentichiamoci che in politica non posso rifiutarmi di giocare quindi ormai il costo l’ho pagato, devo ottenere il payoff.
Per questo motivo partiti anche minoritari possono avanzare grandi richieste a livello di ministeri o leggi o altro, perché sono indispensabili per avere il payoff anche a fronte di un ridotto o ridottissimo peso politico.

E’ il motivo per cui ogni tanto ci troviamo a imprecare “ma come caxxo è possibile che quei 4 #@!!€! condizionino la scelta di tutto lo schieramento?!”.

Conclusioni

Al di la della politica i coefficienti di Shapley sono una delle maggiori conquiste della teoria dei giochi del secolo scorso.
Come tutti i modelli da una spiegazione generale adattabile però a moltissimi fenomeni, dalla logistica alla politica in quanto il concetto di sottofondo è lo stesso: quanto sono disposto a spendere per avere il payoff e quanto incide il mio contributo nel raggiungimento dell’obiettivo?

In una situazione di payoff variabili il problema sarebbe molto minore ma casi simili sono molto rari, spesso i payoff sono nella forma 0,1 il che fa crescere la necessità di concedere spazi anche ampi pur di non perdere tutto.

Come già dimostrato da Arrow la democrazia non è immune da problemi, problemi che spesso si cercano di arginare stabilendo dei limiti di scelta nella fase successiva al voto ossia delineando un area al di fuori della quale nessun partito, per quanto sia maggioritario, possa legiferare.
Questo è ad oggi il miglior sistema per cercare di gestire le democrazie.

Come già scritto ne precedente articolo: il livello di una democrazia si misura da come tratta coloro che ne sono esclusi.

Spero l’articolo sia risultato interessante, ma sopratutto chiaro, nel caso no sono qui sotto nei commenti.

Fonti: wikki wikki