Viaggio alla scoperta della Relatività (quarta parte)

Oggi cominciamo a vedere la relatività generale, che ci porterà a parlare, alla fine, di buchi neri e viaggi nel tempo. Le vecchie puntate qui, quo e qua.

Legge di Gravitazione Universale

Siamo nel XVII secolo quando Newton comincia a studiare l’attrazione che i corpi esercitano fra di loro. Per farlo dovrà addirittura creare una nuova branca della matematica, il calcolo differenziale, che sviluppò indipendentemente da Leibniz, con cui ne condivide la paternità, cosa che ancora oggi scatena flame tra i matematici.
Grazie a questi nuovi strumenti riuscì a quantificare questa misteriosa forza che fa attrarre due corpi, quella di gravità appunto.
Il suo modello matematico funzionava molto bene, ed era in grado di descrivere le orbite dei pianeti, ma aveva qualche pecca: non riusciva a descrivere la precessione del perielio di Mercurio (si ipotizzarono correzioni alla formula o addirittura l’esistenza di un pianeta interno all’orbita di Mercurio chiamato Vulcano) e non descriveva la natura di questa forza, ma solo il suo modo di agire, ed è proprio questo che porta alla crisi questo modello:

Incongruenze con la Relatività Ristretta

La grossa falla del modello di Newton è che la forza di gravità non dipende dal tempo, quindi se la massa di uno dei due corpi dovesse modificarsi, l’altro ne risentirebbe istantaneamente, ma istantaneamente significherebbe violare la relatività ristretta, da cui sappiamo che nulla può superare c.
Questo turbò parecchio Einstein, che cercò di modificare la teoria di Newton per adattarla a quanto scoperto dalla relatività. Il primo passo fu quello di estendere il principio di equivalenza tra due osservatori al caso che comprende le accelerazioni e, quindi, le forze, che non era contemplato nella relatività ristretta.

Principio di equivalenza

Questo principio, alla base della relatività generale nasce da un’osservazione sull’uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale. Non ci interessa tanto questo principio, quanto la sua conseguenza:

Immaginiamo di essere in una stanza chiusa, senza sapere cosa avviene fuori. Se la stanza è ferma a terra, sentiremo una forza – quella di gravità – che ci attrae verso terra.
Immaginiamo ora di mettere questa stanza in un razzo in accelerazione; anche in questo caso avvertiremo una forza premerci verso il basso.

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Saremo in grado di distinguere i due casi da dentro? Assolutamente no. Non potendo vedere fuori sappiamo soltanto di avvertire una forza verso il basso che può essere sia di origine gravitazionale che conseguenza del principio azione/reazione. L’osservatore, quindi, non può in alcun modo capire se la forza che sente sia dovuta ad un campo gravitazionale o ad una accelerazione.

Questo principio ha una importante applicazione pratica, seppure non ancora implementata: la gravità artificiale.
Si può infatti pensare di costruire una stazione spaziale come quella nell’immagine in alto (tratta da 2001 Odissea nello Spazio), con le quelle due grosse “ciambelle” che ruotano. La rotazione causerebbe una forza centrifuga che, se ben calibrata, potrebbe assumere valori compatibili con la gravità terrestre.

Accelerazione e curvatura dello spaziotempo

Per studiare gli effetti della gravità sullo spaziotempo, grazie a quanto detto prima, ci riconduciamo a studiare una accelerazione, in questo caso quella del Rotor, detto anche Tornado, una giostra fatta a forma di cilindro che ruota molto velocemente e dove i partecipanti si appoggiano alla parete, verso cui si sentono attratti durante la rotazione. Per semplicità vediamo separatamente lo spazio ed il tempo.

SPAZIO
Posizioniamo due osservatori, fantasiosamente chiamati A e B, all’interno della giostra.
A starà al centro, B sarà appoggiato sulla parete.
Ora facciamo muovere la giostra, essendo un moto circolare sarà sempre accelerato, anche quando la velocità di rotazione è costante (il caso che analizziamo noi), A dovrà muoversi verso la parete per misurare il raggio della giostra con un righello; B invece si muoverà attorno alla giostra per misurarne il perimetro, sempre con un righello.
Cosa succede?
B si muove attorno al perimetro, ma così facendo è concorde alla direzione del moto, quindi, per la relatività, il suo righello sarà accorciato, quindi misurerà un perimetro maggiore.
A invece si muove perpendicolarmente al moto del rotore, quindi non risente della velocità della giostra e, quindi, non risente della deformazione, ed il suo righello non si deformerà.
Facendo il rapporto tra perimetro e raggio si scopre che non fa $latex {2\pi}$, ma un valore diverso. Perchè?
Immaginiamo di disegnare un cerchio di raggio r su un foglio di carta (geometria piana – quella che ci insegnano da bambini), troveremo che il perimetro è $latex {2\pi r}$. Proviamo a disegnarla su un palloncino (in questo caso geometria sferica), scopriremo che il suo perimetro è minore di $latex {2\pi r}$. Estendendo il ragionamento possiamo dire che un’accelerazione produce una deformazione (una curvatura) dello spazio.

TEMPO
B stavolta sta fermo sulla parete, A invece si muove dal centro verso di lui. Entrambi hanno un orologio, sincronizzati, ovviamente.
A si muove verso B, ad ogni metro confrontano i tempi, cosa si osserva?
Mano a mano che ci si allontana dal centro, la velocità aumenta, per questo B sarà in ritardo rispetto ad A.
Mano a mano che A si avvicina a B, anche lui subirà la contrazione del tempo, sempre maggiore mano a mano che si allontana dal centro (dato che aumenta la sua velocità). Inoltre mano a mano che A si allontana, sentirà una forza sempre maggiore spingerlo verso l’esterno.
Legando le due cose possiamo arrivare a dire che mano a mano che ci si allontana l’accelerazione aumenta ed aumenta anche la contrazione dei tempi, quindi possiamo affermare che l’accelerazione deforma (curva) il tempo.

Unendo ora le due osservazioni, possiamo dire che l’accelerazione causa una deformazione dello spaziotempo. Per il principio di equivalenza, abbiamo scoperto quindi che:

La gravità è la curvatura dello spaziotempo.

NEXT TIME: gravità, onde gravitazionali e buchi neri.

Approfondimenti:
-Gravitazione universale
-Principio di equivalenza
-Spaziotempo
-Relatività generale